Číslo 𝑒 and a počítání úroků

Jak souvisí konstanta e s úročením, to si ukážeme na příkladu půjčky. Od kamaráda jsem si půjčil jednu korunu a buď jsem velmi nespolehlivý, nebo to není až tak dobrý kamarád. Každopádně jsme se dohodli na úroku 100 % za rok. To znamená, že když si dneska půjčím jednu korunu a za rok jí budu chtít vrátit, splatit, tak za tento 1 rok mi kamarád naúčtuje úrok 100 %. To znamená ještě jednou tolik. Neboli vrátím mu jednu korunu, kterou jsem si půjčil, a potom půjčku krát úrok. To znamená 1 koruna krát 100 %. 100 % je přesně 1, to znamená 1 krát 1 je 1, takže 1 plus 1. To jsou celkem 2 koruny, které mu za rok vrátím. Já si ale věřím více, a tak se dohodneme, že úvěr splatím už po půl roce a ne po roce. To znamená, že ta koruna kterou si půjčím, se bude úročit jenom polovinu doby, půl roku, a to znamená, že i úrok bude poloviční. To znamená, že po půl roce se k mému dluhu přičte 100 % děleno 2, tedy 50 %, neboli 1 plus 1 krát 50 %, 50 % je půlka, takže 1,5 koruny. Bohužel jsem přecenil své schopnosti a nemám na splacení. Po půl roce úvěr tedy běží dál a i za druhý půlrok se zúročí o 50 procent. Jenže teď už dlužím kamarádovi korunu padesát a úročí se tedy celá koruna padesát o padesát procent. Úročit o 50 %, to je jako násobit 1,5. Každopádně přičteme ještě půlku dluhu a dostaneme tak 2 koruny 25 haléřů. Celkem jsem tak zaplatil víc, než když se částka určila jenom jednou za celý rok. Co se asi stane, když budeme částku útočit ještě častěji každý měsíc nebo každý den. Na to se za chvilku podíváme, jenom si ukážeme vzoreček, který nám pomůže s výpočty. Vzoreček začíná celkovou částkou, kterou jsme si půjčili, tedy výší úvěru, v našem případě 1 koruna. Tu násobíme závorkou, ve které je 1 plus úrok, ale je to úrok za to období, které úročíme. Znamená to celkový roční úrok dělený počtem úseků, na které jsme ten rok rozdělili. V prvním případě je to 100 % děleno 1, protože jsme celý rok útočili najednou. Nakonec ještě závorku umocníme a to sice natolikátou, kolikrát má proběhnout úročení. V našem případě tedy vždy tolikrát, na kolik úseků jsme rok rozdělili. V prvním případě jsme rok nedělili tedy umocňujeme na prvou. Možná vám to připadá jako velice složitý způsob, jak zapsat něco velmi jednoduchého, ale za chvilku uvidíme, že se nám tento vzoreček bude velice hodit. Ukažme si ho ještě na druhém případu, kdy jsme úročili pololetně. Konečný dluh jsme mohli spočítat i takto. Výše úvěru jedna koruna se nemění. V závorce pak dostáváme 1 plus 100 % lomeno 2, protože rok jsme rozdělili na dva úseky, na dvě pololetí, a celou závorku umocňujeme na druhou, protože dluh jsme zúročili dvakrát, za každé pololetí. Podívejme se na další a velice častou možnost. Budeme útočit každý měsíc. Na začátku je tedy jednokorunový dluh. Půjčka 1 koruny, kdy po 1 dvanáctině roku, tedy po měsíci, přičteme 100 % lomeno 12 k aktuálnímu dluhu. 100 % lomeno 12... 100 % je 1, takže 1 děleno 12 je 0,08333. A přičteme původní půjčku a dostáváme tak dluh po měsíci, což je 1,083 periodických korun. Takto budeme pokračovat dál a mohli bychom každý měsíc zvlášť propočítat, ale můžeme použít náš vzoreček a zjistíme, kolik budeme celkově dlužit po 12 měsících. Výše půjčky je pořád stejná: 1 koruna a v závorce dostáváme 1 plus 100 % děleno 12, protože máme 12 úseků a umocňujeme na dvanáctou. Na toto už si určitě vezmeme kalkulačku. Nejprve tedy 100 %, což je 1 děleno 12, dostáváme již známé číslo, přičteme 1, nyní umocníme na dvanáctou. A ještě bychom násobili 1, ale to už nic nemění. Dostáváme tak dluh přibližně 2,613 koruny. Vidíme, že celkový dluh se opět zvýšil. Nejprve 2 koruny, pak 2 koruny 25 haléřů, a nyní, když uročíme každý měsíc, 2 koruny 61 haléřů. Co když budeme úročit ještě častěji? Bude dluh neomezeně narůstat, nebo se naopak bude zvyšovat jenom k nějaké pevné hodnotě? Podívejme se, co se stane, když budeme úročit každý den. To znamená, že každý den, za 1 třistašedesátipětinu roku, přičteme 1 třistašedesátipětinu úroku. To znamená 100 děleno 365. Každý den by se přičítalo 0,27 % k aktuálnímu dluhu. A toto bychom provedli 365 krát, za každý den v roce. Předpokládáme, že není přestupný. Dostáváme pak následující dluh. Samozřejmě použijeme náš vzoreček. Nejprve tedy kolik jsme si půjčili. 1 koruna krát (1 plus úrok za dané období, což je za den, neboli 100% děleno 365) a závorku umocňujeme na 365, protože úročíme za každý den. Zde si na pomoc vezmeme opět kalkulačku. Nejprve tedy vypočítáme denní úrok, 365, to je 0,0027 Nyní přičteme 1 a umocníme na 365. Násobení číslem 1 už není potřeba. Toto je tedy náš konečný dluh přibližně 2,714567 korun. Asi už tušíte, že i kdybychom úročili ještě mnohem častěji, celkový dluh už nebude příliš růst. Hodnota se totiž blíží známé konstantě e, kterou na kalkulačce jistě najdete. A vidíte, že už při denním úročení se shodujeme ve dvou desetinných místech s konstantou e.