If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:5:39

Transkript

V minulém videu jsme viděli souvislost mezi úročením a konstantou 𝑒. Nyní si ukážeme konstantu 𝑒 bez kontextu úročení, čistě matematicky v té nejjednodušší nebo nejčistší podobě. To znamená bez procent, bez půjček, bez čehokoli, co vlastně nepotřebujeme k výpočtu konstanty 𝑒. Stačí nám tento výraz (1 + 1/n) to celé na entou. Postupně budeme za n dosazovat větší a větší čísla a budeme si zapisovat hodnoty, které z výrazu vycházejí. Uvidíme, jak se přibližují ke konstantě 𝑒. Začneme s hodnotou n rovno 10 tisíc. V minulém videu by to znamenalo rozdělit rok na 10 tisíc úseků. Pojďme tedy dosadit do výrazu. (1 + 1/10 000) a to celé umocnit na 10 000. Dostáváme následující výsledek, který si přepíšeme do tabulky. 2,718 145 926 Tolik míst nám prozatím bude stačit. Dále dosadíme hodnotu o dva řády vyšší a sice jeden milion. Na kalkulačce opět spočítáme (1 + 1/n), to celé děleno milionem a to celé na miliontou. Dostáváme velmi podobný výsledek. Všimněme si, že se shodujeme na prvních třech desetinných pozicích tedy na tisícinách. Dále již dostáváme 280 miliontin a 469 miliardtin. Pojďme ještě o dva řády výš ke 100 milionům. Opět dosadíme do kalkulačky, 1 + 1 děleno 100 miliony... A to celé na sto miliontou. Opět dostáváme velmi podobný výraz. A všimněme si, že se s předchozím shodujeme na více desetinných místech, na pěti. Lišíme se potom o jednu miliontinu a nějaké miliardtiny. A pojďme ještě o dva řády výš. Už nebudeme vypisovat nuly. Potřebujeme deset nul tedy deset na desátou, což můžeme zadat do kalkulačky, která má tlačítko "10 na". Tedy dělíme (1 + 1) děleno deset na desátou. To celé na deset na desátou. Dostáváme opět velmi podobné číslo a tentokrát se lišíme až v řádech miliardtin. To znamená 2,718 281 828. Takto bychom mohli pokračovat dále. Už jsme si říkali, že tato čísla se postupně blíží ke konstantě 𝑒, kterou na kalkulačce také najdeme většinou pod tlačítkem 𝑒. A její hodnota je přibližně 2,718281828 a můžeme ještě připsat další desetinná místa 459. Čím přesnější hodnotu konstanty 𝑒 chceme, tím vyšší číslo musíme za n dosadit a s dostatečně velkým číslem můžeme dosáhnout libovolné přesnosti. Matematicky zapisujeme takové vztahy tzv. limitou. která se značí lim. Pod ní napíšeme n šipka nekonečno. To znamená, že za n máme dosazovat větší a větší čísla a hodnota tohoto výrazu se blíží ke konstantě limitou. Díky nápisu lim, díky tomu že se jedná o limitu, můžeme psát přímo rovnost 𝑒. Ovšem to už zabíháme do oblasti kalkulu. A to je úplně jiná kapitola. Pojďme se ještě vrátit k našim výpočtům a podívejme se jaké přesnosti jsme dosahovali. Nejprve jsme dosadili 10 000 a s konstantou e se výsledek shodoval na třech desetinných místech. Jedna na místě deseti tisícin už neodpovídá a ani další cifry nesedí. Poté jsme přidali dvě nuly a za n dosadili milión a vidíme, že náš výpočet se o dvě cifry zlepšil. Najednou máme o dvě přesné platné cifry více. Poté jsme opět přidali dvě nuly, dosadili jsme sto milionů a vidíme, že už se shodujeme i na místě 18 - to jsou miliontiny a stovky miliardtin. Dále jsme šli opět o dva řády výš, dosadili deset na desátou neboli deset miliard a opět přibyly 2 platné správné cifry. Dále by hodnota pokračovala číslem 3, což neodpovídá konstantně e. Tedy opět přibyly přesně dvě platné cifry. Bude tento trend pokračovat nebo se někde pokazí? Necháme to jako otevřenou otázku. Pokud vás to zajímá prozkoumejte to s kalkulačkou.