If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Funkce

Kurz: Funkce > Kapitola 6

Lekce 4: Převádění logaritmu na jiný základ
Matematika
Funkce
Logaritmické funkce
Převádění logaritmu na jiný základ
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Změna základu logaritmu - úvod

Učebna Google
Nauč se převádět výrazy logaritmů o různých základech. Díky tomu se snadno vypořádáme s tím, že některé kalkulačky mají limitované možnosti výpočtů logaritmů.
Řekněme, že chceme spočítat log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Protože 50 nelze zapsat jako číslo 2 umocněné na racionální exponent, je obtížné tento logaritmus spočítat bez kalkulačky.
Většina kalkulaček však dokáže přímo vypočíst pouze logaritmy o základu 10 a e. Abychom tedy na kalkulačce mohli spočítat log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, musíme nejprve změnit základ tohoto logaritmu.

Vzorec pro změnu základu

Základ libovolného logaritmu můžeme změnit podle následujícího vzorce:
Poznámky:
  • Pomocí tohoto vzorce můžeš původní základ změnit na libovolný základ start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Jako vždy však i při používání vzorce pro změnu základu platí, že argumenty všech logaritmů musí být kladné a základy všech logaritmů musí být rovněž kladné a navíc různé od 1! Tím speciálně zajistíme, že v tomto vzorci nikdy nebudeme dělit nulou, protože logaritmus je roven nule právě tehdy, když je jeho argument roven 1.

Příklad: Výpočet log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Když chceme spočítat nějaký logaritmus, tak je nejlepší změnit jeho základ na 10 nebo e, protože tyto logaritmy už lze vypočíst na většině kalkulaček.
Změňme tedy základ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis na start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Základ změníme podle vzorce pro změnu základu, kde b, equals, 2, a, equals, 50 a x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Vzorec pro zmeˇnu zaˊkladu=log⁡(50)log⁡(2)Jelikozˇlog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{Vzorec pro změnu základu}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Jelikož} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Hodnotu vzniklého podílu nyní můžeme spočítat pomocí kalkulačky.
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, comma, 644

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1
Vypočítej log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 2
Vypočítej log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 3
Vypočítej log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Důkaz vzorce pro změnu základu

V této chvíli si možná říkáš: „Skvělé, ale proč tento vzorec funguje?“
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
Začněme s konkrétním příkladem. Chceme dokázat, že platí log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Použijme s jako zástupného symbolu pro log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Jinak řečeno, máme log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, s. Z definice logaritmů vyplývá, že 2, start superscript, s, end superscript, equals, 50. Nyní můžeme na obou stranách této rovnosti provést sérii operací, které zachovají rovnost:
2s=50log⁡x(2s)=log⁡x(50)Pokud Y=Z, pak log⁡x(Y)=log⁡x(Z)slog⁡x(2)=log⁡x(50)Mocninoveˊ pravidlos=log⁡x(50)log⁡x(2)Obeˇ strany vydeˇlıˊme log⁡x(2)\begin{aligned} 2^s &= 50 \\\\ \log_x(2^s) &= \log_x(50)&&{\gray{\text{Pokud $Y=Z$, pak $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ s\log_x(2)&=\log_x(50)&&{\gray{\text{Mocninové pravidlo}}}\\\\ s &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&{\gray{\text{Obě strany vydělíme $\log_x(2)$}}}\end{aligned}
Protože písmenem s jsme označili log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, máme log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, což jsme přesně chtěli dokázat!
Stejnou myšlenkou můžeme dokázat pravidlo o změně základu v celé jeho obecnosti. Stačí jen změnit 2 na b, 50 na a a základ změnit na x!

Těžší příklady

Těžší příklad 1
Vypočítej start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction bez použití kalkulačky.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Těžší příklad 2
Který výraz je ekvivalentní log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.