If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Změna základu logaritmu - úvod

Nauč se převádět výrazy logaritmů o různých základech. Díky tomu se snadno vypořádáme s tím, že některé kalkulačky mají limitované možnosti výpočtů logaritmů.
Řekněme, že chceme spočítat log2(50). Protože 50 nelze zapsat jako číslo 2 umocněné na racionální exponent, je obtížné tento logaritmus spočítat bez kalkulačky.
Většina kalkulaček však dokáže přímo vypočíst pouze logaritmy o základu 10 a e. Abychom tedy na kalkulačce mohli spočítat log2(50), musíme nejprve změnit základ tohoto logaritmu.

Vzorec pro změnu základu

Základ libovolného logaritmu můžeme změnit podle následujícího vzorce:
Poznámky:
  • Pomocí tohoto vzorce můžeš původní základ změnit na libovolný základ x.
  • Jako vždy však i při používání vzorce pro změnu základu platí, že argumenty všech logaritmů musí být kladné a základy všech logaritmů musí být rovněž kladné a navíc různé od 1! Tím speciálně zajistíme, že v tomto vzorci nikdy nebudeme dělit nulou, protože logaritmus je roven nule právě tehdy, když je jeho argument roven 1.

Příklad: Výpočet log2(50)

Když chceme spočítat nějaký logaritmus, tak je nejlepší změnit jeho základ na 10 nebo e, protože tyto logaritmy už lze vypočíst na většině kalkulaček.
Změňme tedy základ log2(50) na 10.
Základ změníme podle vzorce pro změnu základu, kde b=2, a=50 a x=10.
log2(50)=log10(50)log10(2)Vzorec pro změnu základu=log(50)log(2)Jelikožlog10(x)=log(x)
Hodnotu vzniklého podílu nyní můžeme spočítat pomocí kalkulačky.
log(50)log(2)5,644

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1
Vypočítej log3(20).
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 2
Vypočítej log7(400).
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 3
Vypočítej log4(0,3).
Odpověď zaokrouhli na tisíciny.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Důkaz vzorce pro změnu základu

V této chvíli si možná říkáš: „Skvělé, ale proč tento vzorec funguje?“
logb(a)=logx(a)logx(b)
Začněme s konkrétním příkladem. Chceme dokázat, že platí log2(50)=log(50)log(2).
Použijme s jako zástupného symbolu pro log2(50). Jinak řečeno, máme log2(50)=s. Z definice logaritmů vyplývá, že 2s=50. Nyní můžeme na obou stranách této rovnosti provést sérii operací, které zachovají rovnost:
2s=50logx(2s)=logx(50)Pokud Y=Z, pak logx(Y)=logx(Z)slogx(2)=logx(50)Mocninové pravidlos=logx(50)logx(2)Obě strany vydělíme logx(2)
Protože písmenem s jsme označili log2(50), máme log2(50)=logx(50)logx(2), což jsme přesně chtěli dokázat!
Stejnou myšlenkou můžeme dokázat pravidlo o změně základu v celé jeho obecnosti. Stačí jen změnit 2 na b, 50 na a a základ změnit na x!

Těžší příklady

Těžší příklad 1
Vypočítej log(81)log(3) bez použití kalkulačky.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Těžší příklad 2
Který výraz je ekvivalentní log(6)log6(a)?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.