Hlavní obsah

Funkce

Kurz: Funkce > Kapitola 6

Lekce 3: Vlastnosti logaritmů

Úvod do vlastností logaritmů

Pojďme si projít základní vlastnosti logaritmů a jak je lze využít k přepsání logaritmických výrazů. Například si přepíšeme log₂(3a).


Součinové pravidlo	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Podílové pravidlo	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Mocninové pravidlo	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

Uvedené vzorce platí pro všechny hodnoty

M

N

b

, pro které je každý z logaritmů v daném vzorci definován, tj. musí být

M

N > 0

0 < b \neq 1

[Co to všechno znamená?]

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Měl/a bys vědět, co jsou logaritmy. Pokud to nevíš, můžeš si přečíst náš úvod do logaritmů.

Co se v tomto článku dozvíš

Logaritmy mají stejně jako mocniny mnoho užitečných vlastností, které lze použít ke zjednodušení logaritmických výrazů a řešení logaritmických rovnic. V tomto článku si ukážeme tři z těchto vlastností.

Pojďme si postupně o každé z vlastností něco říci.

Součinové pravidlo: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus součinu dvou čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů.

[Ukaž mi nějaký příklad tohoto pravidla, ve kterém budou jen čísla.]

Podívejme se na to, jak lze součinové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí součinového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí součinového pravidla přepsat jeden logaritmus na součet dvou (nebo i více) logaritmů.

Jako příklad zkusme na součet dvou logaritmů přepsat

\log_{6} (5 y)

Všimni si, že argument tohoto logaritmu je součinem čísel

5

y

. Můžeme tudíž přímo použít součinové pravidlo.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Součinové pravidlo \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí součinového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak součet dvou (nebo i více) logaritmů zapsat jako jeden logaritmus.

Zkusme jako jeden logaritmus napsat součet

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Jelikož oba logaritmy mají stejný základ (

3

), můžeme opět použít součinové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Součinové pravidlo \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí součinového pravidla přepsat součet několika logaritmů na jeden logaritmus, základy všech logaritmů v daném součtu musí být stejné.

Součinové pravidlo tak například nelze použít k úpravě součtů jako

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Přepiš $\log_{2} (3 a)$ ‍ na součet dvou logaritmů.

2) Součet $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍ zapiš jako jeden logaritmus.

Podílové pravidlo: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus podílu dvou čísel je roven rozdílu logaritmu dělence a logaritmu dělitele.

[Ukaž mi nějaký příklad tohoto pravidla, ve kterém budou jen čísla.]

Podívejme se na to, jak lze podílové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako rozdíl dvou logaritmů zapsat

\log_{7} (\frac{a}{2})

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Podílové pravidlo \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako jeden logaritmus napsat rozdíl

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Poněvadž základ obou logaritmů je stejný (

4

), můžeme opět použít podílové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Podílové pravidlo \end{aligned}

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí podílového pravidla přepsat rozdíl dvou logaritmů na jeden logaritmus, základy obou logaritmů v daném rozdílu musí být stejné.

Podílové pravidlo tak například nelze použít k úpravě rozdílů jako

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Přepiš $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍ na rozdíl dvou logaritmů.

4) Rozdíl $\log (3 z) - \log (8)$ ‍ zapiš jako jeden logaritmus.

Mocninové pravidlo: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu této mocniny.

[Ukaž mi nějaký příklad tohoto pravidla, ve kterém budou jen čísla.]

Podívejme se na to, jak lze mocninové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí mocninového pravidla zapsat jeden logaritmus jako násobek jiného logaritmu.

Jako příklad zkusme na násobek jiného logaritmu přepsat

\log_{2} (x^{3})

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Mocninové pravidlo \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak násobek logaritmu zapsat jako samostatný logaritmus.

Zkusme jako samostatný logaritmus zapsat

4 \log_{5} (2)

Když pomocí mocninového pravidla zapisujeme násobek nějakého logaritmu jako samostatný logaritmus, tak argument daného logaritmu umocníme na číslo, kterým je tento logaritmus násoben.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Mocninové pravidlo \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Přepiš $\log_{7} (x^{5})$ ‍ na násobek jiného logaritmu.

6) Zapiš $6 \ln (y)$ ‍ jako samostatný logaritmus.

Těžší příklady

Při řešení každého z následujících příkladů budeš muset postupně použít hned několik pravidel pro práci s logaritmy. Tak s chutí do toho!

7) Který z uvedených výrazů je roven $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍?

8) Který z uvedených výrazů je roven rozdílu $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍?

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Funkce

Kurz: Funkce > Kapitola 6

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Co se v tomto článku dozvíš

Součinové pravidlo: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí součinového pravidla

Příklad: Skládání logaritmů pomocí součinového pravidla

Důležitá poznámka

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Podílové pravidlo: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí podílového pravidla

Příklad: Skládání logaritmů pomocí podílového pravidla

Důležitá poznámka

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Mocninové pravidlo: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí mocninového pravidla

Příklad: Skládání logaritmů pomocí mocninového pravidla

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Těžší příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

Součinové pravidlo: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Podílové pravidlo: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Mocninové pravidlo: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍