If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do vlastností logaritmů

Pojďme si projít základní vlastnosti logaritmů a jak je lze využít k přepsání logaritmických výrazů. Například si přepíšeme log₂(3a).
Součinové pravidlolog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Podílové pravidlolog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Mocninové pravidlolog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Uvedené vzorce platí pro všechny hodnoty M, N a b, pro které je každý z logaritmů v daném vzorci definován, tj. musí být M, N, is greater than, 0 a 0, is less than, b, does not equal, 1.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Měl/a bys vědět, co jsou logaritmy. Pokud to nevíš, můžeš si přečíst náš úvod do logaritmů.

Co se v tomto článku dozvíš

Logaritmy mají stejně jako mocniny mnoho užitečných vlastností, které lze použít ke zjednodušení logaritmických výrazů a řešení logaritmických rovnic. V tomto článku si ukážeme tři z těchto vlastností.
Pojďme si postupně o každé z vlastností něco říci.

Součinové pravidlo: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus součinu dvou čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů.
Podívejme se na to, jak lze součinové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí součinového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí součinového pravidla přepsat jeden logaritmus na součet dvou (nebo i více) logaritmů.
Jako příklad zkusme na součet dvou logaritmů přepsat log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Všimni si, že argument tohoto logaritmu je součinem čísel start color #11accd, 5, end color #11accd a start color #1fab54, y, end color #1fab54. Můžeme tudíž přímo použít součinové pravidlo.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)Soucˇinoveˊ pravidlo\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Součinové pravidlo}}} \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí součinového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak součet dvou (nebo i více) logaritmů zapsat jako jeden logaritmus.
Zkusme jako jeden logaritmus napsat součet log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Jelikož oba logaritmy mají stejný základ (3), můžeme opět použít součinové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Soucˇinoveˊ pravidlo=log3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Součinové pravidlo}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí součinového pravidla přepsat součet několika logaritmů na jeden logaritmus, základy všech logaritmů v daném součtu musí být stejné.
Součinové pravidlo tak například nelze použít k úpravě součtů jako log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Přepiš log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis na součet dvou logaritmů.

2) Součet log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis zapiš jako jeden logaritmus.

Podílové pravidlo: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus podílu dvou čísel je roven rozdílu logaritmu dělence a logaritmu dělitele.
Podívejme se na to, jak lze podílové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako rozdíl dvou logaritmů zapsat log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Podıˊloveˊ pravidlo\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Podílové pravidlo}}} \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako jeden logaritmus napsat rozdíl log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Poněvadž základ obou logaritmů je stejný (4), můžeme opět použít podílové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Podıˊloveˊ pravidlo\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Podílové pravidlo}}} \end{aligned}

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí podílového pravidla přepsat rozdíl dvou logaritmů na jeden logaritmus, základy obou logaritmů v daném rozdílu musí být stejné.
Podílové pravidlo tak například nelze použít k úpravě rozdílů jako log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Přepiš log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis na rozdíl dvou logaritmů.

4) Rozdíl log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis zapiš jako jeden logaritmus.

Mocninové pravidlo: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu této mocniny.
Podívejme se na to, jak lze mocninové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí mocninového pravidla zapsat jeden logaritmus jako násobek jiného logaritmu.
Jako příklad zkusme na násobek jiného logaritmu přepsat log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log2(x3)=3log2(x)Mocninoveˊ pravidlo=3log2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Mocninové pravidlo}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Příklad: Skládání logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak násobek logaritmu zapsat jako samostatný logaritmus.
Zkusme jako samostatný logaritmus zapsat 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis.
Když pomocí mocninového pravidla zapisujeme násobek nějakého logaritmu jako samostatný logaritmus, tak argument daného logaritmu umocníme na číslo, kterým je tento logaritmus násoben.
4log5(2)=log5(24)Mocninoveˊ pravidlo=log5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Mocninové pravidlo}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Přepiš log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis na násobek jiného logaritmu.

6) Zapiš 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis jako samostatný logaritmus.

Těžší příklady

Při řešení každého z následujících příkladů budeš muset postupně použít hned několik pravidel pro práci s logaritmy. Tak s chutí do toho!
7) Který z uvedených výrazů je roven log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

8) Který z uvedených výrazů je roven rozdílu 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď: