Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Úvod do vlastností logaritmů

Pojďme si projít základní vlastnosti logaritmů a jak je lze využít k přepsání logaritmických výrazů. Například si přepíšeme log₂(3a).
Součinové pravidlologb(MN)=logb(M)+logb(N)
Podílové pravidlologb(MN)=logb(M)logb(N)
Mocninové pravidlologb(Mp)=plogb(M)
Uvedené vzorce platí pro všechny hodnoty M, N a b, pro které je každý z logaritmů v daném vzorci definován, tj. musí být M, N>0 a 0<b1.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Měl/a bys vědět, co jsou logaritmy. Pokud to nevíš, můžeš si přečíst náš úvod do logaritmů.

Co se v tomto článku dozvíš

Logaritmy mají stejně jako mocniny mnoho užitečných vlastností, které lze použít ke zjednodušení logaritmických výrazů a řešení logaritmických rovnic. V tomto článku si ukážeme tři z těchto vlastností.
Pojďme si postupně o každé z vlastností něco říci.

Součinové pravidlo: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus součinu dvou čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů.
Podívejme se na to, jak lze součinové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí součinového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí součinového pravidla přepsat jeden logaritmus na součet dvou (nebo i více) logaritmů.
Jako příklad zkusme na součet dvou logaritmů přepsat log6(5y).
Všimni si, že argument tohoto logaritmu je součinem čísel 5 a y. Můžeme tudíž přímo použít součinové pravidlo.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)Součinové pravidlo

Příklad: Skládání logaritmů pomocí součinového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak součet dvou (nebo i více) logaritmů zapsat jako jeden logaritmus.
Zkusme jako jeden logaritmus napsat součet log3(10)+log3(x).
Jelikož oba logaritmy mají stejný základ (3), můžeme opět použít součinové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Součinové pravidlo=log3(10x)

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí součinového pravidla přepsat součet několika logaritmů na jeden logaritmus, základy všech logaritmů v daném součtu musí být stejné.
Součinové pravidlo tak například nelze použít k úpravě součtů jako log2(8)+log3(y).

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Přepiš log2(3a) na součet dvou logaritmů.

2) Součet log5(2y)+log5(8) zapiš jako jeden logaritmus.

Podílové pravidlo: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus podílu dvou čísel je roven rozdílu logaritmu dělence a logaritmu dělitele.
Podívejme se na to, jak lze podílové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako rozdíl dvou logaritmů zapsat log7(a2).
log7(a2)=log7(a)log7(2)Podílové pravidlo

Příklad: Skládání logaritmů pomocí podílového pravidla

Zkusme jako jeden logaritmus napsat rozdíl log4(x3)log4(y).
Poněvadž základ obou logaritmů je stejný (4), můžeme opět použít podílové pravidlo, tentokrát „v opačném směru“:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Podílové pravidlo

Důležitá poznámka

Když chceme pomocí podílového pravidla přepsat rozdíl dvou logaritmů na jeden logaritmus, základy obou logaritmů v daném rozdílu musí být stejné.
Podílové pravidlo tak například nelze použít k úpravě rozdílů jako log2(8)log3(y).

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Přepiš logb(4c) na rozdíl dvou logaritmů.

4) Rozdíl log(3z)log(8) zapiš jako jeden logaritmus.

Mocninové pravidlo: logb(Mp)=plogb(M)

Toto pravidlo slovy říká, že logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu této mocniny.
Podívejme se na to, jak lze mocninové pravidlo použít k úpravě logaritmických výrazů.

Příklad: Rozklad logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nejprve si ukážeme, jak můžeme pomocí mocninového pravidla zapsat jeden logaritmus jako násobek jiného logaritmu.
Jako příklad zkusme na násobek jiného logaritmu přepsat log2(x3).
log2(x3)=3log2(x)Mocninové pravidlo=3log2(x)

Příklad: Skládání logaritmů pomocí mocninového pravidla

Nyní se podívejme na to, jak násobek logaritmu zapsat jako samostatný logaritmus.
Zkusme jako samostatný logaritmus zapsat 4log5(2).
Když pomocí mocninového pravidla zapisujeme násobek nějakého logaritmu jako samostatný logaritmus, tak argument daného logaritmu umocníme na číslo, kterým je tento logaritmus násoben.
4log5(2)=log5(24)Mocninové pravidlo=log5(16)

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Přepiš log7(x5) na násobek jiného logaritmu.

6) Zapiš 6ln(y) jako samostatný logaritmus.

Těžší příklady

Při řešení každého z následujících příkladů budeš muset postupně použít hned několik pravidel pro práci s logaritmy. Tak s chutí do toho!
7) Který z uvedených výrazů je roven logb(2x35)?
Vyber 1 odpověď:

8) Který z uvedených výrazů je roven rozdílu 3log2(x)2log2(5)?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.