Grafy logaritmických a exponenciálních funkcí

Podíváme se na vztah funkcí y = 2 na x-tou a y se rovná logaritmus o základu 2 z x. První funkci si označíme f a nejprve si vypišme tabulku hodnot. Za x postupně dosadíme čísla -2, -1, 0, 1, 2 a 3. Body, které nám vyjdou, budeme rovnou zakreslovat do grafu a ty potom spojíme a vyjde nám tak graf celé funkce. Dva na minus druhou, to je jako jedna lomeno dvě na druhou, což je jedna čtvrtina. V grafu zhruba zde. Dva na minus prvou je jako jedna lomeno dvě na prvou, což je jedna polovina. To je zde. Dále už to bude jednoduché, dvě na nultou je jedna. Dvě na prvou je dva. Dvě na druhou je čtyři. A dvě na třetí je osm. Nyní všechny body pro propojíme a dostaneme tak známý hokejkový graf exponenciální funkce. V záporných hodnotách x se výsledné hodnoty y přibližují k nule. Nikdy se jí ale nedotknou, výsledky jsou vždy kladná čísla. Naopak s rostoucím x se zvyšujícím se exponentem rostou i výsledné hodnoty y nade všechny meze. Nyní se pojďme podívat na druhou funkci. Připomeneme, že logaritmus o základu 2 z x vlastně říká dvě na kolikátou tou je x? A odpověď je na y-tou. Vztah si tak můžeme přepsat jako dvě na y rovná se x. Vidíme tak, že oproti předchozí funkci vlastně jen došlo k prohození x a y. A to znamená, že se jedná o inverzní funkci, kterou můžeme značit f na méně prvou. Díky tomu, že se jenom prohazují hodnoty x a y je velice snadné napsat tabulku hodnot pro funkci f na méně prvou pro inverzní funkci a to prostě tak, že provádíme hodnoty ve sloupcích. x tak bude jedna čtvrtina a y minus dva. Bod si rovnou za kreslíme do grafu, nachází se přibližně zde. Pojďme dále. Tentokrát x bude jedna polovina a y minus jedna. Opět rovnou za kreslíme, dále x bude jedna a y 0. A tak dále... Pokračujeme v prohazování hodnot x a y a zakreslování do grafu. Pro x rovno 4 je y 2 a konečně pro x rovno 8 je y rovno 3, protože dvě na třetí je 8. Body opět spojíme a dostáváme graf, který má úplně stejný tvar, ale je překlopený, jak za chvilku uvidíme. A je to graf inverzní funkce f na méně prvou. Zatím jsme viděli algebraický vztah těchto dvou funkcí a odpovídající numerický. Tedy jenom prosazujeme x a y případně jejich hodnoty. Co to ale znamená graficky? Pojďme se podívat, kam se v grafu přemístily body prohozením souřadnic x a y. Bod 1, 2 se přemístil na souřadnice 2, 1. Bod 0, 1 na 1, 0. Bod minus jedna, jedna polovina na jedna polovina, minus jedna atd. Můžeme si všimnout, že se jedná o osovou souměrnost, kde osa souměrnosti je přesně osa prvního a třetího kvadrantu, neboli přímka jejíž předpis je y se rovná x. Tyto vztahy o prohazování hodnot x a y platí obecně o jakýchkoliv dvou inverzní funkcích. My jsme si je zde ukázali konkrétně na příkladu exponenciální funkce y se rovná dvě na x tou a k ní inverzní funkce y se rovná logaritmus o základu 2 z x.