Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Logaritmy - úvod

Seznámíme se s tím, co logaritmus znamená a jak jej vyčíslit.

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Měl/a bys vědět, co jsou mocniny, nejlépe včetně mocnin se záporným exponentem.

Co se v tomto článku dozvíš

Dozvíš se, co jsou logaritmy a jak některé základní logaritmy spočítat. To tě připraví na pozdější práci s logaritmickými výrazy a funkcemi.

Co je logaritmus?

Logaritmy jsou pouze dalším způsobem uvažování o mocninách.
Například víme, že 2 na 4 se rovná 16. Tuto skutečnost můžeme zapsat jako exponenciální rovnost 24=16.
Teď si představ, že by se tě někdo zeptal: „Na co musíme umocnit 2, aby se výsledek rovnal 16?“ Odpověď by byla 4. Tento fakt zapisujeme jako logaritmickou rovnost log2(16)=4, kterou čteme „logaritmus šestnácti o základu dva se rovná čtyřem“.
24=16log2(16)=4
Obě rovnosti popisují ten samý vztah mezi čísly 2, 4 a 16. Číslu 2 říkáme základ a číslo 4 je exponent.
Rozdíl mezi uvedenými dvěma rovnostmi tkví v tom, že zatímco v exponenciální rovnosti je na jedné straně osamostatněná hodnota mocniny (16), v té logaritmické je místo toho na jedné straně osamostatněný exponent (4).
Zde je několik dalších logaritmických a jim ekvivalentních exponenciálních rovností.
Logaritmická rovnostExponenciální rovnost
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Definice logaritmu

Zobecnění výše uvedených příkladů nás vede k formální definici logaritmu.
logb(a)=cbc=a
Obě rovnosti popisují tentýž vztah mezi čísly a, b a c, přičemž:
  • b je základ,
  • c je exponent a
  • a se nazývá argument.

Nápomocná poznámka

Při přepisování exponenciální rovnice na logaritmickou nebo naopak logaritmické rovnice na exponenciální je užitečné si pamatovat, že základ logaritmu musí být vždy stejný jako základ příslušné mocniny.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

V následujících příkladech budeš přecházet od exponenciálních rovností k jejich logaritmickým protějškům a naopak.
Příklad 1
Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti 25=32?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti 53=125?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 3
Přepiš rovnost log2(64)=6 pomocí mocniny.

Příklad 4
4) Přepiš rovnost log4(16)=2 pomocí mocniny.

Počítání logaritmů

Skvělé! Když už rozumíme vztahu mezi mocninami a logaritmy, podívejme se na to, zda dokážeme logaritmy počítat.
Jako příklad zkusme spočítat log4(64).
Nejprve tuto zatím neznámou hodnotu označme písmenem x.
log4(64)=x
Přepisem této rovnice pomocí mocniny získáme následující rovnici:
4x=64
4 na kolikátou je 64? Platí 43=64, a tudíž log4(64)=3.
Až budeš trochu zkušenější, některé z těchto kroků už možná nebudeš potřebovat a log4(64) spočítáš jednoduše tak, že si řekneš: „4 na kolikátou je 64?"

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Pamatuj, že při počítání logb(a) si můžeš položit otázku: „b na kolikátou je a?“
Příklad 5
log6(36)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 6
log3(27)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 7
log4(4)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Příklad 8
log5(1)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Pokročilý příklad
log3(19)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Omezující podmínky na základ a argument logaritmu

logb(a) je definovaný pouze pro kladný základ b různý od 1. Argument a navíc musí být také kladný. Tato omezení jsou důsledkem vztahu mezi logaritmy a mocninami.
PodmínkaZdůvodnění
b>0Exponenciální funkce jsou definované pouze pro kladný základ b.
a>0Rovnost logb(a)=c znamená, že bc=a. Kladné číslo umocněné na cokoliv je pořád kladné, takže bc>0, z čehož už plyne a>0.
b1Řekněme, že b by mohlo být 1. Uvažme nyní rovnici log1(3)=x. Ekvivalentní tvar této rovnice je 1x=3. Toto však nikdy nemůže být pravda, protože 1 na cokoliv je vždy 1. Z tohoto důvodu požadujeme, aby b1.

Speciální logaritmy

Ačkoliv základem logaritmu může být mnoho různých čísel, existují dva základy, které se používají častěji než ostatní.
Většina kalkulaček má dokonce tlačítka pouze pro tyto dva typy logaritmů. Tak se na ně pojďme podívat.

Dekadický logaritmus

Dekadický logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo 10.
Při symbolickém zápisu dekadického logaritmu vynecháváme jeho základ. Není-li tedy u logaritmu uveden základ, automaticky se tím myslí logaritmus o základu 10.
log10(x)=log(x)

Přirozený logaritmus

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo e (tzv. Eulerovo číslo).
Namísto toho, abychom psali základ e, označujeme přirozený logaritmus jako ln.
loge(x)=ln(x)
V následující tabulce je shrnuto vše, co o právě zmíněných dvou logaritmech potřebuješ vědět.
JménoZákladBěžné značeníSpeciální značení
Dekadický logaritmus10log10(x)log(x)
Přirozený logaritmuseloge(x)ln(x)
Značení se sice možná změnilo, ale způsob počítání těchto logaritmů zůstává stále stejný!

Proč se o logaritmech učíme?

Jak jsi se právě dozvěděl/a, logaritmy nám říkají, čemu se rovná exponent nějaké mocniny. Z tohoto důvodu jsou logaritmy velmi užitečné pro řešení exponenciálních rovnic.
Například řešení rovnice 2x=5 můžeme napsat jako logaritmus, a to x=log2(5). V následujících lekcích se naučíš, jak tento logaritmus přibližně spočítat.
Logaritmické výrazy a funkce jsou navíc zajímavé samy o sobě a ve světě kolem nás se vyskytují velmi často. Mnoho fyzikálních jevů se například měří pomocí logaritmických stupnic.

Co dál?

Dál se můžeš podívat na některé vlastnosti logaritmů, které nám pomáhají při přepisování logaritmických výrazů do výhodnější podoby, a na vzorec pro změnu základu logaritmu, díky němuž můžeme spočítat jakýkoliv logaritmus na kalkulačce.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.