If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Logaritmy - úvod

Seznámíme se s tím, co logaritmus znamená a jak jej vyčíslit.

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Měl/a bys vědět, co jsou mocniny, nejlépe včetně mocnin se záporným exponentem.

Co se v tomto článku dozvíš

Dozvíš se, co jsou logaritmy a jak některé základní logaritmy spočítat. To tě připraví na pozdější práci s logaritmickými výrazy a funkcemi.

Co je logaritmus?

Logaritmy jsou pouze dalším způsobem uvažování o mocninách.
Například víme, že start color #11accd, 2, end color #11accd na start color #0d923f, 4, end color #0d923f se rovná start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Tuto skutečnost můžeme zapsat jako exponenciální rovnost start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Teď si představ, že by se tě někdo zeptal: „Na co musíme umocnit start color #11accd, 2, end color #11accd, aby se výsledek rovnal start color #e07d10, 16, end color #e07d10?“ Odpověď by byla start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Tento fakt zapisujeme jako logaritmickou rovnost log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, kterou čteme „logaritmus šestnácti o základu dva se rovná čtyřem“.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Obě rovnosti popisují ten samý vztah mezi čísly start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Číslu start color #11accd, 2, end color #11accd říkáme základ a číslo start color #0d923f, 4, end color #0d923f je exponent.
Rozdíl mezi uvedenými dvěma rovnostmi tkví v tom, že zatímco v exponenciální rovnosti je na jedné straně osamostatněná hodnota mocniny (start color #e07d10, 16, end color #e07d10), v té logaritmické je místo toho na jedné straně osamostatněný exponent (start color #1fab54, 4, end color #1fab54).
Zde je několik dalších logaritmických a jim ekvivalentních exponenciálních rovností.
Logaritmická rovnostExponenciální rovnost
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definice logaritmu

Zobecnění výše uvedených příkladů nás vede k formální definici logaritmu.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Obě rovnosti popisují tentýž vztah mezi čísly start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd a start color #0d923f, c, end color #0d923f, přičemž:
  • start color #11accd, b, end color #11accd je start color #11accd, start text, z, a, with, \', on top, k, l, a, d, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f je start color #0d923f, start text, e, x, p, o, n, e, n, t, end text, end color #0d923f a
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 se nazývá start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #e07d10.

Nápomocná poznámka

Při přepisování exponenciální rovnice na logaritmickou nebo naopak logaritmické rovnice na exponenciální je užitečné si pamatovat, že základ logaritmu musí být vždy stejný jako základ příslušné mocniny.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

V následujících příkladech budeš přecházet od exponenciálních rovností k jejich logaritmickým protějškům a naopak.
Příklad 1
Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti 5, cubed, equals, 125?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Příklad 3
Přepiš rovnost log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 pomocí mocniny.

Příklad 4
4) Přepiš rovnost log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 pomocí mocniny.

Počítání logaritmů

Skvělé! Když už rozumíme vztahu mezi mocninami a logaritmy, podívejme se na to, zda dokážeme logaritmy počítat.
Jako příklad zkusme spočítat log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Nejprve tuto zatím neznámou hodnotu označme písmenem x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Přepisem této rovnice pomocí mocniny získáme následující rovnici:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4 na kolikátou je 64? Platí start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, a tudíž log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Až budeš trochu zkušenější, některé z těchto kroků už možná nebudeš potřebovat a log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis spočítáš jednoduše tak, že si řekneš: „4 na kolikátou je 64?"

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Pamatuj, že při počítání log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis si můžeš položit otázku: „start color #11accd, b, end color #11accd na kolikátou je start color #e07d10, a, end color #e07d10?“
Příklad 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pokročilý příklad
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Omezující podmínky na základ a argument logaritmu

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis je definovaný pouze pro kladný základ b různý od 1. Argument a navíc musí být také kladný. Tato omezení jsou důsledkem vztahu mezi logaritmy a mocninami.
PodmínkaZdůvodnění
b, is greater than, 0Exponenciální funkce jsou definované pouze pro kladný základ b.
a, is greater than, 0Rovnost log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c znamená, že b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Kladné číslo umocněné na cokoliv je pořád kladné, takže b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, z čehož už plyne a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Řekněme, že b by mohlo být 1. Uvažme nyní rovnici log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. Ekvivalentní tvar této rovnice je 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Toto však nikdy nemůže být pravda, protože 1 na cokoliv je vždy 1. Z tohoto důvodu požadujeme, aby b, does not equal, 1.

Speciální logaritmy

Ačkoliv základem logaritmu může být mnoho různých čísel, existují dva základy, které se používají častěji než ostatní.
Většina kalkulaček má dokonce tlačítka pouze pro tyto dva typy logaritmů. Tak se na ně pojďme podívat.

Dekadický logaritmus

Dekadický logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo 10.
Při symbolickém zápisu dekadického logaritmu vynecháváme jeho základ. Není-li tedy u logaritmu uveden základ, automaticky se tím myslí logaritmus o základu 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Přirozený logaritmus

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo e (tzv. Eulerovo číslo).
Namísto toho, abychom psali základ e, označujeme přirozený logaritmus jako natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
V následující tabulce je shrnuto vše, co o právě zmíněných dvou logaritmech potřebuješ vědět.
JménoZákladBěžné značeníSpeciální značení
Dekadický logaritmus10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Přirozený logaritmuselog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Značení se sice možná změnilo, ale způsob počítání těchto logaritmů zůstává stále stejný!

Proč se o logaritmech učíme?

Jak jsi se právě dozvěděl/a, logaritmy nám říkají, čemu se rovná exponent nějaké mocniny. Z tohoto důvodu jsou logaritmy velmi užitečné pro řešení exponenciálních rovnic.
Například řešení rovnice 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 můžeme napsat jako logaritmus, a to x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. V následujících lekcích se naučíš, jak tento logaritmus přibližně spočítat.
Logaritmické výrazy a funkce jsou navíc zajímavé samy o sobě a ve světě kolem nás se vyskytují velmi často. Mnoho fyzikálních jevů se například měří pomocí logaritmických stupnic.

Co dál?

Dál se můžeš podívat na některé vlastnosti logaritmů, které nám pomáhají při přepisování logaritmických výrazů do výhodnější podoby, a na vzorec pro změnu základu logaritmu, díky němuž můžeme spočítat jakýkoliv logaritmus na kalkulačce.