Hlavní obsah

Funkce

Kurz: Funkce > Kapitola 6

Lekce 1: Co je to logaritmus?

Logaritmy - úvod

Učebna Google

Seznámíme se s tím, co logaritmus znamená a jak jej vyčíslit.

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Měl/a bys vědět, co jsou mocniny, nejlépe včetně mocnin se záporným exponentem.

Co se v tomto článku dozvíš

Dozvíš se, co jsou logaritmy a jak některé základní logaritmy spočítat. To tě připraví na pozdější práci s logaritmickými výrazy a funkcemi.

Co je logaritmus?

Logaritmy jsou pouze dalším způsobem uvažování o mocninách.

Například víme, že

2

4

se rovná

16

. Tuto skutečnost můžeme zapsat jako exponenciální rovnost

2^{4} = 16

Teď si představ, že by se tě někdo zeptal: „Na co musíme umocnit

2

, aby se výsledek rovnal

16

?“ Odpověď by byla

4

. Tento fakt zapisujeme jako logaritmickou rovnost

\log_{2} (16) = 4

, kterou čteme „logaritmus šestnácti o základu dva se rovná čtyřem“.

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

Obě rovnosti popisují ten samý vztah mezi čísly

2

4

16

. Číslu

2

říkáme základ a číslo

4

je exponent.

Rozdíl mezi uvedenými dvěma rovnostmi tkví v tom, že zatímco v exponenciální rovnosti je na jedné straně osamostatněná hodnota mocniny (

16

), v té logaritmické je místo toho na jedné straně osamostatněný exponent (

4

Zde je několik dalších logaritmických a jim ekvivalentních exponenciálních rovností.

Logaritmická rovnost		Exponenciální rovnost
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

Definice logaritmu

Zobecnění výše uvedených příkladů nás vede k formální definici logaritmu.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

Obě rovnosti popisují tentýž vztah mezi čísly

a

b

c

, přičemž:

$b$ ‍ je $základ$ ‍,
$c$ ‍ je $exponent$ ‍ a
$a$ ‍ se nazývá $argument$ ‍.

Nápomocná poznámka

Při přepisování exponenciální rovnice na logaritmickou nebo naopak logaritmické rovnice na exponenciální je užitečné si pamatovat, že základ logaritmu musí být vždy stejný jako základ příslušné mocniny.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

V následujících příkladech budeš přecházet od exponenciálních rovností k jejich logaritmickým protějškům a naopak.

Příklad 1

Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti $2^{5} = 32$ ‍?

Příklad 2

Která z nabízených rovností je ekvivalentní rovnosti $5^{3} = 125$ ‍?

Příklad 3

Přepiš rovnost $\log_{2} (64) = 6$ ‍ pomocí mocniny.

Příklad 4

4) Přepiš rovnost $\log_{4} (16) = 2$ ‍ pomocí mocniny.

Počítání logaritmů

Skvělé! Když už rozumíme vztahu mezi mocninami a logaritmy, podívejme se na to, zda dokážeme logaritmy počítat.

Jako příklad zkusme spočítat

\log_{4} (64)

Nejprve tuto zatím neznámou hodnotu označme písmenem

x

\log_{4} (64) = x

Přepisem této rovnice pomocí mocniny získáme následující rovnici:

4^{x} = 64

4

na kolikátou je

64

? Platí

4^{3} = 64

, a tudíž

\log_{4} (64) = 3

Až budeš trochu zkušenější, některé z těchto kroků už možná nebudeš potřebovat a

\log_{4} (64)

spočítáš jednoduše tak, že si řekneš: „ $4$ ‍ na kolikátou je $64$ ‍?"

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Pamatuj, že při počítání

\log_{b} (a)

si můžeš položit otázku: „

b

na kolikátou je

a

?“

Příklad 5

\log_{6} (36) =

Příklad 6

\log_{3} (27) =

Příklad 7

\log_{4} (4) =

Příklad 8

\log_{5} (1) =

Pokročilý příklad

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

Omezující podmínky na základ a argument logaritmu

\log_{b} (a)

je definovaný pouze pro kladný základ

b

různý od

1

. Argument

a

navíc musí být také kladný. Tato omezení jsou důsledkem vztahu mezi logaritmy a mocninami.

Podmínka	Zdůvodnění
$b > 0$ ‍	Exponenciální funkce jsou definované pouze pro kladný základ $b$ ‍.
$a > 0$ ‍	Rovnost $\log_{b} (a) = c$ ‍ znamená, že $b^{c} = a$ ‍. Kladné číslo umocněné na cokoliv je pořád kladné, takže $b^{c} > 0$ ‍, z čehož už plyne $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	Řekněme, že $b$ ‍ by mohlo být $1$ ‍. Uvažme nyní rovnici $\log_{1} (3) = x$ ‍. Ekvivalentní tvar této rovnice je $1^{x} = 3$ ‍. Toto však nikdy nemůže být pravda, protože $1$ ‍ na cokoliv je vždy $1$ ‍. Z tohoto důvodu požadujeme, aby $b \neq 1$ ‍.

Speciální logaritmy

Ačkoliv základem logaritmu může být mnoho různých čísel, existují dva základy, které se používají častěji než ostatní.

Většina kalkulaček má dokonce tlačítka pouze pro tyto dva typy logaritmů. Tak se na ně pojďme podívat.

Dekadický logaritmus

Dekadický logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo

10

Při symbolickém zápisu dekadického logaritmu vynecháváme jeho základ. Není-li tedy u logaritmu uveden základ, automaticky se tím myslí logaritmus o základu

10

\log_{10} (x) = \log (x)

Přirozený logaritmus

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo

e

(tzv. Eulerovo číslo).

[Co je e?]

Namísto toho, abychom psali základ

e

, označujeme přirozený logaritmus jako

\ln

\log_{e} (x) = \ln (x)

V následující tabulce je shrnuto vše, co o právě zmíněných dvou logaritmech potřebuješ vědět.

Jméno	Základ	Běžné značení	Speciální značení
Dekadický logaritmus	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
Přirozený logaritmus	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

Značení se sice možná změnilo, ale způsob počítání těchto logaritmů zůstává stále stejný!

[Chtěl/a bych vidět nějaké příklady výpočtu dekadických a přirozených logaritmů.]

Proč se o logaritmech učíme?

Jak jsi se právě dozvěděl/a, logaritmy nám říkají, čemu se rovná exponent nějaké mocniny. Z tohoto důvodu jsou logaritmy velmi užitečné pro řešení exponenciálních rovnic.

Například řešení rovnice

2^{x} = 5

můžeme napsat jako logaritmus, a to

x = \log_{2} (5)

. V následujících lekcích se naučíš, jak tento logaritmus přibližně spočítat.

Logaritmické výrazy a funkce jsou navíc zajímavé samy o sobě a ve světě kolem nás se vyskytují velmi často. Mnoho fyzikálních jevů se například měří pomocí logaritmických stupnic.

Co dál?

Dál se můžeš podívat na některé vlastnosti logaritmů, které nám pomáhají při přepisování logaritmických výrazů do výhodnější podoby, a na vzorec pro změnu základu logaritmu, díky němuž můžeme spočítat jakýkoliv logaritmus na kalkulačce.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.