Hlavní obsah
Funkce
Kurz: Funkce > Kapitola 6
Lekce 1: Co je to logaritmus?Logaritmy - úvod
Seznámíme se s tím, co logaritmus znamená a jak jej vyčíslit.
Co je před čtením tohoto článku třeba znát
Měl/a bys vědět, co jsou mocniny, nejlépe včetně mocnin se záporným exponentem.
Co se v tomto článku dozvíš
Dozvíš se, co jsou logaritmy a jak některé základní logaritmy spočítat. To tě připraví na pozdější práci s logaritmickými výrazy a funkcemi.
Co je logaritmus?
Logaritmy jsou pouze dalším způsobem uvažování o mocninách.
Například víme, že na se rovná . Tuto skutečnost můžeme zapsat jako exponenciální rovnost .
Teď si představ, že by se tě někdo zeptal: „Na co musíme umocnit , aby se výsledek rovnal ?“ Odpověď by byla . Tento fakt zapisujeme jako logaritmickou rovnost , kterou čteme „logaritmus šestnácti o základu dva se rovná čtyřem“.
Obě rovnosti popisují ten samý vztah mezi čísly , a . Číslu říkáme základ a číslo je exponent.
Rozdíl mezi uvedenými dvěma rovnostmi tkví v tom, že zatímco v exponenciální rovnosti je na jedné straně osamostatněná hodnota mocniny ( ), v té logaritmické je místo toho na jedné straně osamostatněný exponent ( ).
Zde je několik dalších logaritmických a jim ekvivalentních exponenciálních rovností.
Logaritmická rovnost | Exponenciální rovnost | |
---|---|---|
Definice logaritmu
Zobecnění výše uvedených příkladů nás vede k formální definici logaritmu.
Obě rovnosti popisují tentýž vztah mezi čísly , a , přičemž:
je , je a se nazývá .
Nápomocná poznámka
Při přepisování exponenciální rovnice na logaritmickou nebo naopak logaritmické rovnice na exponenciální je užitečné si pamatovat, že základ logaritmu musí být vždy stejný jako základ příslušné mocniny.
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
V následujících příkladech budeš přecházet od exponenciálních rovností k jejich logaritmickým protějškům a naopak.
Počítání logaritmů
Skvělé! Když už rozumíme vztahu mezi mocninami a logaritmy, podívejme se na to, zda dokážeme logaritmy počítat.
Jako příklad zkusme spočítat .
Nejprve tuto zatím neznámou hodnotu označme písmenem .
Přepisem této rovnice pomocí mocniny získáme následující rovnici:
Až budeš trochu zkušenější, některé z těchto kroků už možná nebudeš potřebovat a spočítáš jednoduše tak, že si řekneš: „ na kolikátou je ?"
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Pamatuj, že při počítání si můžeš položit otázku: „ na kolikátou je ?“
Omezující podmínky na základ a argument logaritmu
Podmínka | Zdůvodnění |
---|---|
Exponenciální funkce jsou definované pouze pro kladný základ | |
Rovnost | |
Řekněme, že |
Speciální logaritmy
Ačkoliv základem logaritmu může být mnoho různých čísel, existují dva základy, které se používají častěji než ostatní.
Většina kalkulaček má dokonce tlačítka pouze pro tyto dva typy logaritmů. Tak se na ně pojďme podívat.
Dekadický logaritmus
Dekadický logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo .
Při symbolickém zápisu dekadického logaritmu vynecháváme jeho základ. Není-li tedy u logaritmu uveden základ, automaticky se tím myslí logaritmus o základu .
Přirozený logaritmus
Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je číslo (tzv. Eulerovo číslo).
Namísto toho, abychom psali základ , označujeme přirozený logaritmus jako .
V následující tabulce je shrnuto vše, co o právě zmíněných dvou logaritmech potřebuješ vědět.
Jméno | Základ | Běžné značení | Speciální značení |
---|---|---|---|
Dekadický logaritmus | |||
Přirozený logaritmus |
Značení se sice možná změnilo, ale způsob počítání těchto logaritmů zůstává stále stejný!
Proč se o logaritmech učíme?
Jak jsi se právě dozvěděl/a, logaritmy nám říkají, čemu se rovná exponent nějaké mocniny. Z tohoto důvodu jsou logaritmy velmi užitečné pro řešení exponenciálních rovnic.
Například řešení rovnice můžeme napsat jako logaritmus, a to . V následujících lekcích se naučíš, jak tento logaritmus přibližně spočítat.
Logaritmické výrazy a funkce jsou navíc zajímavé samy o sobě a ve světě kolem nás se vyskytují velmi často. Mnoho fyzikálních jevů se například měří pomocí logaritmických stupnic.
Co dál?
Dál se můžeš podívat na některé vlastnosti logaritmů, které nám pomáhají při přepisování logaritmických výrazů do výhodnější podoby, a na vzorec pro změnu základu logaritmu, díky němuž můžeme spočítat jakýkoliv logaritmus na kalkulačce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.