Co je to funkce?

My si dnes povíme, co je to funkce. Velice abstraktně, když si to představíme, tak funkce je něco, co vezme nějaký vstup, ten vstup si nějak přežvýká, schroustá, něco s ním udělá a na základě toho vstupu nám dá nějaký výstup. Uveďme si příklad funkce. To by mohlo být třeba tady <i>F(x)</i>. <i>x</i> je asi nejčastější proměnná, kterou najdete jako vstup pro funkci, a <i>F</i> je zase nejčastější název funkce, ale samozřejmě tu můžeme mít i jiné proměnné. Zkusme si tu funkci nějak definovat. Tak třeba <i>F(x)</i> bude <i>x</i> na druhou, pokud <i>x</i> je sudé, anebo <i>x</i> + 5, pokud <i>x</i> je liché. Tohle je předpis naší funkce. Jak bychom tedy postupovali, kdybychom chtěli najít hodnotu funkce v nějakém určitém bodě? Třeba <i>F</i> v bodě 2. Jako vstup té funkci tedy dáváme číslo 2. Všude, kde bylo <i>x</i>, my teď dosadíme 2. <i>F</i> v bodě 2 bude buď 2 na druhou, místo <i>x</i> dosadíme 2, 2 na druhou, pokud 2 je sudá, nebo 2 + 5, pokud 2 je lichá. 2 je sudé číslo, takže výsledkem bude 2 na druhou, tedy 4. Jak by vypadala funkce <i>F</i> v bodě 3, opět místo <i>x</i> na vstup dáváme funkci číslo 3, všude, kde je <i>x</i>, tam dosadíme 3. <i>F</i> v bodě 3 bude buď 3 na druhou, pokud 3 je sudá, nebo 3 + 5, pokud 3 je lichá. A 3 je liché číslo, takže výsledek bude 3 + 5 a tedy 8. Vy si asi řeknete no, to je hezká definice, to je pěkné, ale to celé bychom zvládli zapsat i nějakými tradičními způsoby, obzvlášť kdybychom mohli použít tu složenou závorku, tu svorku, tak k čemu nám vlastně je ta definice té funkce, ten zápis té funkce? Tak si pojďme tady napsat nějakou další funkci. A abyste viděli, že to opravdu nemusí být jenom <i>F</i> a <i>x</i>, tak si napíšeme třeba funkci <i>h(a)</i>. Tahle funkce bude definovaná jako nejbližší větší číslo… Nejbližší větší celé číslo tedy, mám-li být úplně přesná, které začíná stejným písmenem jako proměnná a. Říkáte si: No to je hodně zajímavý předpis. Ale pojďme se na to podívat. Jaká by tedy byla hodnota funkce h v bodě 2? Číslo 2 začíná na písmenko d. Jaké je tedy nejbližší větší číslo, které začíná stejným písmenem? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 9 začíná také na d, takže h bude 9. Co bude h v bodě 4? 4 začíná na č. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Takže hodnota funkce h v bodě 4 bude 14. Tohle je dost šílená a divná funkce, ale vy už jste se určitě potkali s něčím, co také může být funkce, jenom jsme to tak neoznačovali. Určitě už jste někdy viděli takovýto zápis y = x + 1, to jsme mnohokrát řešili. A tohle si můžeme zapsat jako y = F(x) = x + 1. Takže když teď budu chtít F v bodě 0, všude, kde bylo x, dosadím 0 a tedy F v bodě 0 bude 0 + 1, tedy 1. Budu-li chtít f v bodě 2, F(2) = 2 + 1 a tedy 3. My jsme častokrát tady toto řešili pomocí tabulky, kdy jsme si zvolili nějaké hodnoty x a k nim jsme dopočítali hodnoty y. Když x bude 0, 0 + 1, y je 1. Když bude x dva, 2 + 1, to jsou 3. Takže teď se asi ptáte, proč jsme tady zavedli ten zápis té funkce? Chtěla jsem vám jen ukázat, že funkce tedy funguje tak, že si vezme něco na vstupu… Tady máme proměnnou x… A něco s tím vstupem udělá. Tentokrát konkrétně vezme ten vstup a o 1 zvýší jeho hodnotu x + 1. Teď jsme měli hodně příkladů funkcí, ale co tedy není funkce? Zkusíme si to teď ukázat graficky. Já si tady načrtnu osy x a y. A do té naší soustavy souřadnic si budu chtít zakreslit kružnici s poloměrem 2. A střed bude v počátku, ať se nám to dobře kreslí. Črtám, nemusí to být vůbec přesně. Tady jde jenom o představu. Zhruba. Chceme kružnici s poloměrem 2, opravdu črtám, takže to nebude na krásu. Tak. Rovnicí této funkce, což už možná znáte, bude x na druhou plus y na druhou se rovná poloměr na druhou, 2 na druhou, tedy 4. Když si tady vybereme nějaký bod, třeba bod x = 1, ten je tady, a podíváme se, jaké hodnoty tady v tom bodě dostaneme, tak nedostaneme hodnotu jednu, ale vidíme, že tady máme jednu hodnotu y a druhou hodnotu y. Že tomu bodu neodpovídá pouze 1 hodnota, ale hodnoty 2. Kdybychom si to chtěli dopočítat, za x dosadíme 1. 1 na druhou plus y na druhou se rovná 4. 1 na druhou je 1, takže odečteme 1. Zbude nám, že y na druhou se rovná 3. y se tedy rovná plus minus odmocnina ze 3. A stejně jako jsme to viděli tady, dostali jsme stejný výsledek tady. Nemáme tady 1 výsledek, ale 2, což by byl u funkce zásadní problém, protože, jak jsme si řekli, funkce bere vstup, ten nějak zpracuje a dá nám 1 možný výstup. Ještě musím dodat, že pro některé vstupy nám funkce nemusí dát výstup žádný. To když vstupy nepatří do definičního oboru. Pokud vám tento pojem nic neříká, nezoufejte. Tomu se budeme věnovat později. Teď se o takových případech nebavíme. Ale pokud dostaneme vstup z definičního oboru, funkce nám dá 1 možný výstup, což se tady nestalo. My jsme vložili tu 1 do té naší kouzelné krabičky funkce A nedostali 1 výstup ale 2 výstupy. Odmocninu ze 3 a minus odmocninu ze 3. Tady ten bod na ose y je odmocnina ze 3. Tady někde je druhý bod a to je minus odmocnina ze 3. Takže toto celé opravdu není funkce, protože... a ještě to zopakuji jednou, ať je to opravdu jasné, Funkce vezme vstup, nějak ho zpracuje. A pokud je to vstup z definičního oboru, dá nám jeden jediný možný výstup. Ne dva, tři... nebo něco podobného. Nikdy to není jinak.