Hlavní obsah
Kurz: Funkce > Kapitola 2
Lekce 4: Využití lineární funkceSlovní úlohy s lineárními funkcemi: malování pokoje
Máme slovní popis reálného vztahu, ve kterém si někdo maluje svůj pokoj, a máme najít funkční předpis, který tento vztah představuje.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Karel maloval pokoj rychlostí
8 metrů čtverečních za hodinu. Po 3 hodinách mu ještě zbývalo
namalovat 28 metrů čtverečních. Nechť A(t) je nepomalovaná
plocha A v metrech čtverečních jako funkce času t v hodinách. Zapište rovnici funkce. Takže máme tady nějaké hodnoty a potom
nám říkají, že A(t) bude funkce času t a bude vyjadřovat nepomalovanou
plochu A v metrech čtverečních. Ještě to jednou zopakuji, to A(t) bude
představovat nepomalovanou plochu, tedy ne plochu, která už je pomalovaná,
kterou už Karel stihl namalovat, ale tu plochu, která mu
ještě namalovat zbývá. Je to ta nepomalovaná plocha. A na začátku nám říkají, že maluje pokoj
rychlostí 8 metrů čtverečních za hodinu, nějakou konstantní rychlostí,
pořád stejnou, a že po třech hodinách mu ještě zbývá
namalovat 28 metrů čtverečních. Tak ty hodnoty pojďme využít a pojďme
se dopracovat k té rovnici funkce A(t). Uděláme si tady dole klasickou tabulku,
takže vlevo bude nezávislá proměnná, tedy t, a tady to A(t), ta
nepomalovaná plocha jako funkce času. Jaké hodnoty my známe? Víme ze zadání, že po třech hodinách mu
zbývá namalovat 28 metrů čtverečních. Takže čas je 3 a ta nepomalovaná
plocha A(t) je 28 metrů čtverečních. Napsala jsem to dolů, abychom mohli jít
pozpátku a doplnili si ty hodnoty před 3. Jaká byla situace po 2 hodinách? V čase t
se rovná 2? Když Karel maloval 2 hodiny? Bude ta nepomalovaná
plocha větší nebo menší? Pojďme si to představit.
Kolik mu zbývalo? Když po 3 hodinách zbývá 28, před hodinou
mu muselo zbývat víc metrů čtverečních, protože stále maluje rychlostí
8 metrů čtverečních za hodinu. Tudíž před hodinou měl odvedeno
méně práce, měl namalováno méně, a tedy nepomalovaná plocha,
což je to A(t), byla větší. A o kolik byla větší? Přesně o těch 8 metrů čtverečních,
které za hodinu zvládne namalovat. Takže tady to bude 28 plus 8, tedy 36. Když si to představíme, tak kdykoli nám
jde čas nahoru, zvedá se nám čas, tak se nám nepomalovaná plocha musí
snižovat, poněvadž my stále malujeme a toho nepomalovaného místa nám
zbývá čím dál, tím méně, to dává smysl. Pojďme si doplnit ještě zbývající hodnoty. Jak to bylo v čase t = 1, když
Karel maloval pouhou hodinu? Nepomalované plochy bylo
zase o 8 metrů čtverečních více, poněvadž zase maloval o hodinu méně. A v čase 0, když začínal, to bylo ještě
o 8 metrů čtverečních více a tedy 52. Pojďme si to zkontrolovat. My tvrdíme, že na začátku mu zbývalo
namalovat 52 metrů čtverečních, a že za hodinu to bylo 44, což
odpovídá, protože namaloval 8. Za další hodinu to bylo už jen 36,
to je v pořádku, to je zase o 8 méně, které namaloval, a za další hodinu
těch 28, co máme v zadání. Tak nám to hezky sedí. Když se na to ještě podíváme takto,
tak vidíme, že když máme změnu t, když delta t je 1, tak změna A, delta A
je rovna minus 8, což odpovídá. Za hodinu namaluje 8 metrů čtverečních
a nepomalovaná plocha se tedy o těch 8 metrů čtverečních sníží,
musí to být záporná hodnota. My vidíme, že stále maluje
konstantní rychlostí, a už tedy víme, že ta funkce, jejíž rovnici máme
zapsat, bude tím pádem lineární. Jedním z předpisů, které můžeme pro zápis
lineární funkce použít, je směrnicový tvar y = kx + q. A my to můžeme hned doplnit podle
našich proměnných, kdy t je ta nezávislá, tedy ta, kterou dáme místo x a A(t)
je ta závislá, kterou dáme místo y. Takže to bude
A(t) se rovná k krát t plus q. k je tady ta rychlost změny, nebo,
kdybychom si to chtěli zakreslit do grafu, tak by to byla naše směrnice. A q je nějaká počáteční hodnota, kdybychom
zakreslovali graf, tak by to byl průsečík s vertikální osou, tentokrát
ne s osou y, ale s osou A(t). A my oba dva ty údaje už umíme
podle tohoto dopočítat, to by neměl být žádný problém. Jak spočítáme k? k je směrnice, rychlost změny, a tu
spočítáme pomocí těchto dvou údajů naprosto jednoduše, je to tedy změna
pomalované plochy za nějaký čas, neboli delta A lomeno delta t,
to už umíme. Minus 8 lomeno 1, ve
zkratce -8. Jednoduché. Ještě nám zbývá q, ta počáteční hodnota,
a to taky nebude problém dopočítat, stačí nám si představit, jak to je,
když máme tuto funkci v čase 0. Jelikož když máme A(0), tak potom
tady t je nulové, k krát nula je nula a zbude nám pouze q. A my už víme, že A v čase
0 je 52 a tedy 52 se rovná q. A máme spočítáno. Takže teď si to můžeme
hezky dosadit do té rovnice. A(t) se tedy bude rovnat k, což je
minus 8, krát t plus q, které je 52. A máme hotovo. Toto je ta
rovnice, kterou jsme hledali. Rovnice funkce A(t). Pojďme si jenom ve zkratce zkontrolovat,
něco, co moc často neděláme, ale jenom abyste si to uvědomili:
Jaké jednotky tady používáme? A(t) je nepomalovaná plocha, která má být
v metrech čtverečních, podle zadání. Tak se podívejme, jestli nám tady opravdu
výsledek vyjde v metrech čtverečních. Minus 8 je vlastně plocha za čas a
tedy metry čtvereční lomeno hodiny. Metry čtvereční lomeno
hodiny, t je v hodinách, takže tady se nám to vlastně vyruší a
zbudou nám hezky metry čtvereční a 52 je nepomalovaná plocha
a ta je v metrech čtverečních. Takže sčítáme metry
čtvereční a metry čtvereční, a hezky nám vyjdou metry čtvereční.
Výborně, to je v pořádku. Teď si ještě ukážeme 1 možnost, jak k této
rovnici dojít poněkud rychlejším způsobem. Vy byste si totiž rovnou mohli říct z toho
zadání, pokud už v tom umíte chodit a jste v tom kovaní: Tak on maluje
rychlostí 8 metrů čtverečních za hodinu a A(t) je nepomalovaná plocha, takže ta
změna, rychlost změny bude tedy minus 8, protože každou hodinu mu z té nepomalované
plochy ubude 8 metrů čtverečních. Takže to bych vlastně mohla zapsat
jako… Napíšeme si to tady dolů… A(t) se rovná minus 8 krát
nějaký ten čas plus nějaké q. A to q si můžu dopočítat tak, že dosadím
nějaké hodnoty, které už znám. A v zadání mám, že po 3 hodinách mu ještě
zbývá namalovat 28 metrů čtverečních. Tak to dosadím. Toto je nepomalovaná plocha, těch 28 metrů
čtverečních, 28 se rovná minus 8 krát… Je to v čase 3, po 3 hodinách, plus q. To mám 28 = - 24 + q, když přičtu 24
k oběma stranám, dostanu, že 52 = q. A teď už by mi stačilo 52 jenom dosadit
za q a dostávám stejnou rovnici. Takže i takto rychleji by to šlo udělat,
ale my jsme si to udělali hezky pomalu, abychom pochopili, jak to funguje.
A máme hotovo.