Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Slovní úlohy s lineárními funkcemi: tání ledu

Máme slovní popis reálného vztahu, který zahrnuje tání ledovce, a máme najít funkční předpis, který tento vztah popisuje.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Jezero poblíž severního polárního kruhu v zimě pokrývá tlustá vrstva ledu, která měří 2 metry. Když přijde jaro, led pomalu taje a jeho tloušťka se konstantní rychlostí zmenšuje. Po třech týdnech je tloušťka ledu pouze 1,25 metru. Nechť S(t) je tloušťka ledu, S v metrech jako funkce času t v týdnech. Zapište rovnici funkce. Tady už nám v zadání dali nějaké hodnoty, se kterými můžeme pracovat. My víme, že v zimě je tedy led, jehož tloušťka je 2 metry. Když přijde jaro, tak nám ten led ubývá, a ubývá nám konstantní rychlostí, s tím, jak se otepluje. A potom nám ještě říkají, že po třech týdnech je tloušťka ledu už pouze 1,25 m. A pak tady máme, že to bude funkce S(t), která vyjadřuje tu tloušťku ledu v metrech jako funkci času t v týdnech. A máme zapsat rovnici této funkce S(t). Můžeme vzít tyto hodnoty a už si je nějak aplikovat. Takže, víme, že na začátku, kdy je ještě stále zima, ještě nepřišlo jaro, tak má ten led tloušťku 2 metry. Takže S v čase 0, ještě nezačalo jaro, po nula týdnech, bude tedy dva metry. Co tu máme dál? Konstantní rychlost to nás zatím nezajímá, po třech týdnech má led už pouze 1,25 m. Takže S po třech týdnech, tedy S(3), poněvadž to máme v týdnech ten čas, se rovná 1,25. Můžeme si to samozřejmě zapsat i do tabulky, takové té klasické, kterou známe, Prvně máme nezávislou proměnnou, to je čas a na něm závisí tloušťka ledu. V čase nula je tloušťka ledu 2 metry, to je ten první údaj, v čase 3, po třech týdnech, už jenom 1,25 metru. Když se na to podíváme, jak se nám tady změnil čas, jaká je změna t? Delta t tady je 3, posunuli jsme se v čase o 3 týdny. Co se stalo s tou tloušťkou ledu? Delta S, neboli změna S je minus 0,75, ten led nám odtává, tady tedy musí být záporné znaménko, jelikož jeho tloušťka se logicky zmenšuje. Pokud bychom chtěli vypočítat rychlost s jako se ta tloušťka ledu zmenšuje, tak to nebude nic složitého. My totiž víme, že ta rychlost je konstantní, tedy ať už jdeme o jeden týden, o 2, o 3, ať už se posuneme v čase o 2 měsíce, stále ta rychlost odtávání ledu bude konstantní a stejná. Takže můžeme použít tyto dva údaje a tu rychlost si spočítat. Je to tedy delta S lomeno delta t, tedy metry za týdny, tady máme minus 0,75, dole máme 3 a my víme, že to bude minus 0,25 metru za týden. Tady máme totiž metry a tady máme týdny. Takže my vidíme, že každý týden nám ubude 0,25 metru ledu. To se nám bude ještě hodit. Máme tady nějaké informace, jak to všechno vyjádříme jako funkci. Víme, že to bude lineární funkce, poněvadž tady máme, že ta rychlost odtávání ledu je konstantní a jedním z tvarů, které můžeme použít pro rovnici lineární funkce je tvar směrnicový. Ve tvaru y = kx + q. Ten se nám tady bude hodit. y je závislá proměnná, x je nezávislá proměnná, k je směrnice neboli rychlost změny, můžeme-li to tak říct, a q je nějaká naše počáteční hodnota, kde se vyskytujeme na začátku. Můžeme si to tedy přepsat pomocí našich proměnných, takže závislá proměnná, tou je to S(t), které my budeme počítat, pak tady máme k, to zatím nevíme, x je nezávislá proměnná, tedy čas t, plus tedy to počáteční q. Pojďme si dopočítat ten zbytek, abychom to mohli vyjádřit jako tu rovnici funkce. Kolik bude to q, kolik je to počáteční q, nějaká ta naše počáteční hodnota? Jednou z možností, jak to spočítat, je najít si S v čase 0, protože potom tady dostaneme k krát 0, tedy nulovou hodnotu, a zbude nám tady jenom q. A my víme, že S v čase 0 jsou 2, tedy q se rovná 2, q = 2... ještě to tady pro jistotu zopakuji. A kolik je ta směrnice k, jaká je ta rychlosti změny? My už víme, že k je minus 0,25 metru za týden, to už jsme si spočítali, a tedy minus 0,25. Napíšeme si to tady dolů a teď do tohoto můžeme doplnit ty naše nově spočítané údaje. S(t) bude k, tedy minus 0,25 t plus q je 2. To už by mohl být konečný výsledek, ale možná by bylo hezčí si to zapsat takto: S(t) se rovná, a prohodit tyto dva údaje, 2 minus 0,25 t. Protože toto nám tak víc ukazuje, jak asi intuitivně přemýšlíme u tohoto příkladu. Na začátku máme tloušťku ledu 2 metry a s každým týdnem nám ubude 0,25 metru, takže toto nám trošku lépe ukazuje ten náš intuitivní postup u tohoto příkladu. Ale samozřejmě i ta první možnost je správná a jsou ekvivalentní. Pokud byste chtěli, můžete si i načrtnout graf, máme směrnici, máme dva body a máme dokonce i průsečík, tentokrát to není průsečík s osou y, ale průsečík s osou S, poněvadž S je tady ta naše závislá proměnná. Ale my jsme si to krásně spočítali, splnili jsme zadání, zapsali jsme rovnici funkce a máme tedy hotovo.