Úlohy na rovnici přímky ve směrnicovém tvaru

Dnes se podíváme na další příklady na rovnice ve směrnicovém tvaru. Jen pro připomenutí, rovnice přímky ve směrnicovém tvaru se zapisuje jako y = kx + q, kde k je směrnice té přímky a q je průsečík s osou y, tedy jeho y-ová souřadnice. Jelikož x-ová je vždy nulová, jak víme. Tak se pojďme podívat na první příklad. Přímka má směrnici -5 a průsečík s osou y v bodě 6. Tedy 0 a 6. Takže směrnice zde je -5, tu nám rovnou zadali, a tedy naše k je rovno -5. A máme rovnou zadaný i průsečík s osou y a ten je v bodě 6. A tedy naše q je rovno 6. Výsledná rovnice bude podle vzorečku y se rovná k, tedy -5, krát x + q, které je 6, y se rovná -5x plus 6. To bylo velice jednoduché, jelikož jsme to dostali rovnou zadané. Pojďme na druhý příklad, kdy přímka má směrnici -1 a prochází bodem 4/5 a 0. Opět směrnice je tady -1 a tedy k se rovná -1 a my tedy víme, když si to dosadíme do toho vzorečku y se rovná kx + q, že naše rovnice bude ve tvaru y = -1x + q Jenom jsme dosadili to k, tu směrnici. Teď ještě potřebujeme vypočítat to q. Ten průsečík s osou y, který nám tentokrát už nezadali. My ale víme, že naše přímka prochází tímto bodem, bodem 4/5 a 0. A to tedy znamená, že souřadnice tohoto bodu musí vyhovovat této rovnici. Tedy že když je dosadíme za x a za y, tak tato rovnost bude platit. A tedy toto je naše x a toto je naše y. Takže y, a tedy nula, se rovná -1 krát 4/5, jelikož x je čtyři pětiny podle tohoto bodu, plus q a tedy 0 se rovná -1 krát 4/5 jsou -4/5 + q. Když přičteme 4/5 k oběma stranám rovnice, dostaneme čtyři pětiny se rovná q. Už máme i q i k. A můžeme zapsat naši rovnici, kam doplníme q a tedy y se rovná -x, minus 1x je to stejné jako -x, plus 4/5. To je naše výsledná rovnice ve směrnicovém tvaru. Pojďme na další příklad. Přímka prochází body 2 a 6 a 5 a 0. Tentokrát už nemáme zadanou směrnici, ale máme zadány dva body, kterými přímka prochází, což nám bohatě stačí k tomu, abychom našli jak směrnici, tak průsečík s osou y. My totiž víme, že naše směrnice k se spočítá jako změna y (delta y) ku změně x (deltě x) a změna y a změna x se dají zapsat jako rozdíl souřadnic koncového bodu a počátečního bodu. Tedy u y: y2 - y1 a u x: x2 - x1. x-ová a y-ová souřadnice koncového bodu minus x-ová a y-ová souřadnice počátečního bodu. Zkusme si to k spočítat podle tohoto vzorečku. Zvolíme si jako koncový bod bod 2 a 6 ku příkladu a jako počáteční bod bod 5 a 0. Y2, v našem případě 6, minus y1, v tomto případě 0 lomeno 2, x2 je 2, minus a x1 je 5, takto. Tady je krásně vidět podle těch barev, že pokud se rozhodneme tento bod vzít jako koncový a tento jako počáteční, musíme to pořadí dodržet u y i u x. Nemůžeme si to tady tak mezi sebou nějak libovolně prohazovat, pokud je tento bod na prvním místě u y, bude na prvním místě i u x a naopak. Je to ale každopádně jedno, který bod si zvolíme jako počáteční a koncový, výsledek bude vždy stejný. Vždy dostaneme stejnou hodnotu směrnice. Tak si to pojďme dopočítat a tady dostaneme 6 lomeno 2 minus pět je -3. A naše výsledná směrnice je tedy rovna -2. Zase si to můžeme dosadit do našeho vzorečku rovnice, y se rovná k krát x, a tedy -2x, plus q. A uděláme to samé, co jsme udělali v předchozím příkladu, že do naší rovnice si dosadíme nějaký bod, kterým přímka prochází. Tady bude asi nejjednodušší použít tento druhý bod zaznačený modře, jelikož obsahuje číslo 0 a s tím se nám bude lépe počítat. Y, což je 0, 0 se rovná -2 krát, x je pět, krát pět plus q. A dopočítáme si to q. Ten průsečík s osou y. 0 se rovná -10 + q. Přičteme + 10 k oběma stranám rovnice a vyjde nám, že 10 se rovná q. Už jsme našli i průsečík s osou y a naše rovnice bude tedy vypadat jako y se rovná -2x plus 10. Toto je výsledná rovnice ve směrnicovém tvaru přímky, která prochází těmito dvěma body. Pojďme na další příklad, ten je obdobný, máme tu opět dva body, kterými přímka prochází a tentokrát jsou to body 3 a 5 a -3 a 0. Takže úplně stejným způsobem, k se rovná delta y lomeno delta x. Můžeme si to teď prohodit a říct, že toto bude náš počáteční bod a toto bude náš koncový bod. Tak. Y2, y-ová souřadnice koncového bodu, nula minus y-ová počátečního a tedy 5, lomeno x-ová souřadnice koncového, -3, minus x-ová souřadnice počátečního, a tedy 3. Dostáváme minus 5 lomeno minus 6, minusy se nám vyruší. Dostáváme 5/6. Vždy nezapomínejte, že tady nahoře jsou y-ové souřadnice a dole x-ové. Ačkoliv by nás to podle zvyklosti, kdy říkáme x a y, mohlo svádět to udělat naopak. Ne, nahoře je vždycky y (0-5). A abyste viděli, že je opravdu jedno, který bod si zvolíme jako počáteční a který koncový, můžeme si to vyzkoušet ještě naopak a tedy toto bude náš koncový bod, toto náš počáteční. Takže tentokrát začínáme tímto bodem, tedy y-ová souřadnice, 5 minus 0, lomeno x-ové souřadnice 3 - (-3). 3 - (-3). A vy už to asi vidíte, že dostáváme opět pět šestin, naše směrnice je rovna pěti šestinám. Doplníme si to zase do rovnice y se rovná kx, a tedy pět šestin x, plus q, a dopočítáme si zase q, průsečík s osou y. A to tak, že opět si za x a za y dosadíme souřadnice jednoho bodu, kterým přímka prochází. Tady máme zase bod, ve kterém se vyskytuje 0, takže ho zase použijeme, aby to bylo jednoduché. 0 se rovná, 5/6 krát, x je minus 3, krát minus 3 plus q, tady dostáváme 0 se rovná minus patnáct šestin plus q. 15/6 můžeme vykrátit třemi a tedy 0 se rovná minus 5/2 + q. Přičteme si pět polovin k oběma stranám a dostaneme, že pět polovin se rovná q. To bylo úplně stejné jako předtím a naše výsledná rovnice, kam si dosadíme q, bude y se rovná 5/6x plus 5/2. Pojďme na další příklad, tentokrát to bude trochu jiné, tentokrát tady máme graf, směrnici i průsečík s osou y můžeme často vyčíst i pouze z grafu, jelikož my víme, že směrnice je rovna změna y ku změně x, delta y ku deltě x, jak už jsme řekli několikrát, to tedy vyjadřuje to, o kolik se posuneme u y, když se o nějakou hodnotu posuneme u x. A to můžeme samozřejmě vyčíst jednoduše i z grafu. Když se podíváme, vybereme si nějaký bod, který lze dobře odečíst, já tady vidím třeba 2 a 2, takže když se z bodu 2 a 2 posuneme u x o jedna, tady o jedna, o kolik se musíme posunout u y, abychom se opět dostali zpátky na přímku? O raz, dva, tři, čtyři, o rovné čtyři. Takto. Když si to dosadíme do našeho vzorečku, dostáváme změna y je 4 a změna x je jedna. A tedy naše směrnice se rovná 4. Průsečík s osou y můžeme opět odečíst z grafu, já ho tady vidím hned, vidíme, že to je bod nula a minus 6. A tedy naše q je rovno minus 6. A teď už nezbývá nic jiného, než to dosadit do rovnice, y se rovná kx plus q. A tedy y se rovná 4x minus 6 plus q, tedy plus minus 6, minus 6.