Rovnice přímky ve směrnicovém tvaru z grafu

Vy už pravděpodobně víte, že každou přímku lze zapsat rovnicí ve směrnicovém tvaru, a to ve tvaru y se rovná k krát x plus q, kde k je směrnice, o které jsme mluvili v předchozích videích a q je průsečík s osou y. A my si hned ukážeme, jak poznáme, že tedy q je průsečík a k je směrnice. Průsečík s osou y je tedy na ose y a tedy x se rovná 0, takže když si do této rovnice dosadíme x se rovná 0, tak dostaneme y se rovná k krát 0 plus q. Toto se nám tedy vyruší a zbyde nám y se rovná q a tedy opravdu náš průsečík bude v bodě nula a q, 0 a q. A potom co ta směrnice? Zkusme si vybrat ještě jeden bod. Když x bude jedna. Jak to bude tentokrát s naší rovnicí? Y se rovná k krát jedna plus q a tedy k plus q, to je naše y. A tedy náš bod na přímce by byl jedna a k plus q, k plus q. My už víme, že směrnici vypočítáme jako změna y ku změně x a tedy delta y lomeno delta x. A změnu y a změnu x spočítáme tak, že vezmeme y-ovou souřadnici koncového bodu a od ní odečteme y-ovou souřadnici počátečního bodu. Stejně tak u x. X-ová souřadnice koncového bodu minus x-ová počátečního. Toto bude náš počáteční bod, toto koncový, tak. Y-ová koncového minus počátečního. A tedy k plus q minus q lomeno jedna minus nula, jedna minus nula. A to nám dává plus minus se nám vyruší, zbyde nám k lomeno jedna minus nula je jedna. A tedy k. Naše směrnice je opravdu k. Doufám, že jsem vás nezmátla těmi abstraktními písmenky, s čísly budeme počítat zase příště. Toto byl jenom důkaz toho, že naše směrnice je opravdu k. Tak, pojďme už ale tady na grafy. Máme tady grafy přímek a chtěli bychom spočítat jejich rovnice ve směrnicovém tvaru. Tak, začneme s přímkou A. Tak, přímka A, spočítáme si nejprve směrnici. Vybereme si nějaké body na přímce, které můžeme dobře odečíst z grafu, které nám budou dávat nějaké celé hodnoty. Já vidím třeba tady tento bod a tady tento bod, uděláme to výrazněji. Tady tento bod a tady tento bod, takže o kolik se posunu mezi těmito dvěma body u x? Raz, dva, tři, delta x se rovná tři. A u y půjdu o raz, dva, o dva, ale do minusu, směrem dolů, takže i delta y je minus 2. Tak, naše směrnice k je tedy delta y lomeno delta x a tedy minus dva lomeno třemi. Naše k je tedy minus dvě třetiny, což nám vlastně říká, že kdykoliv se u x posunu o 1, ukážu, u x posunu o 1, u y musím o minus 2/3 dolů. To nám říká tato směrnice. A jak je na tom q, náš průsečík s osou y? Tak my tady nemáme celočíselnou hodnotu, nemůžeme si to odečíst z grafu, ale zvládneme to jednoduše pomocí této směrnice. My vidíme, že tento bod má souřadnici x minus jedna a my chceme souřadnici x 0. A tady se posuneme u x o 1, přesně jak jsem teď řekla, u x se posuneme o jedna do plusu. A tedy u y musíme o minus dvě třetiny do minusu. U y jsme tady v bodě 2 a máme se posunout o dvě třetiny dolů. Bod 2 a máme se posunout o dvě třetiny dolů. To je tedy šest třetin minus dvě třetiny. A to jsou tedy 4/3. Tento bod je tedy bod nula a čtyři třetiny a naše rovnice ve směrnicovém tvaru bude vypadat jako y se rovná, máme kx plus q. A tedy minus dvě třetiny x plus čtyři třetiny, to je naše rovnice přímky A ve směrnicovém tvaru. Jdeme na přímku B. Doufejme, že tam už nebudou takové nepříjemné zlomky, jako jsme měli tady. Přímka B, začneme zase směrnicí, vybereme si nějaké hezké body. Já tady vidím tento bod a tento bod, takže půjdeme-li u x o jedna, naše delta x je jedna, půjdeme u y o 1, 2, 3, o 3. A tedy k, naše směrnice, se bude rovnat delta y lomeno delta x a tedy 3 lomeno jedna, tedy rovné 3, tak. A jak je na tom q? Jak je na tom náš průsečík s osou y? Ten vidíme tady rovnou. Dokonce jsme si ho tady označili a tedy bod nula a jedna. A naše q je tedy jedna. Tak, to je všechno, co potřebujeme. A tedy rovnice ve směrnicovém tvaru této přímky bude kx plus q a tedy 3x plus jedna. Hotovo. Pojďme tedy na poslední přímku, na přímku C. Tak. Tady průsečík s osou y také vidíme hned. Můžeme jím tedy začít. Je jím bod 0 a minus 2 a tedy q se rovná minus 2. A teď směrnice. Další pěkný bod vidíme tady, tak jdeme u x o 1, 2, 3, 4, o rovné 4. A u y o raz, dva, delta y se rovná 2. Naše směrnice, tedy k, delta y lomeno delta x, stále stejně. A tedy dva lomeno čtyřmi a tedy jedna polovina. To je opět vše, co potřebujeme. A naše rovnice ve směrnicovém tvaru bude tedy y se rovná jedna polovina x minus 2. Tak, já doufám, že je to teď trošku jasnější. A my se pojďme teď společně podívat na opačný postup. Máme tady zadané rovnice ve směrnicovém tvaru a chtějí po nás, abychom zakreslili jejich grafy, jak ty přímky budou vypadat. Tak pojďme na to. Jako první si zvolíme tuto a opíšeme si ji vedle, y se rovná dvě x plus pět, pro připomenutí si tu napíšeme ten směrnicový tvar přímky, ten je tedy y se rovná kx plus q. A také že směrnici k vypočítáme jako delta y lomeno delta x. Když už to nevidíme na tom příkladu nahoře. Tak. Průsečík s osou y je tedy bod nula a 5, to je jednoduché vyčíst. A tedy 0 a 5, tady. A naše směrnice je 2. To si můžeme představit jako dvě jedniny. A to znamená, že když se u x posuneme o jedna, u y se musíme posunout o 2. Takže o jedno u x, o 2 u y, o jedno u x, o 2 u y. To samé do minusu, když se posunu o 1 do minusu u x, musím o 2 do minusu u y, o jedna a o 2. Mohli bychom pokračovat, ale to nám na vytvoření přímky bohatě stačí. Ta přímka bude tedy vést zhruba takto. To je tedy přímka y se rovná dvě x plus 5. Tak. Pojďme na přímku druhou, tak. A to je tedy y se rovná minus nula celá dva x plus sedm. My si to přepíšeme, protože vždycky se to lépe představuje ve zlomku. A tedy minus jedna pětina x plus sedm. Q vidíme zase velice rychle, že je 7 a tedy náš průsečík s osou y je nula a sedm. To je tady. Tady, tak. A směrnice k je tedy minus jedna pětina, je minusová, záporná, přímka tedy bude klesat. A říká nám, že kdykoliv se u x posuneme o pět, u y musíme o jedna do minusu. U x o pět do plusu, u y o jedno do minusu. O pět a o jedna. To stejné můžeme i do minusu, toto si můžeme představit, to je stejné, jako jedna lomeno minus pět. A tedy když se posuneme o pět u x do minusu, musíme o jedna do plusu u y. A ještě jednou, o pět a o jedna. Teď už ty body jenom spojíme v přímku, tak. Toto je přímka rovnice ve směrnicovém tvaru y se rovná minus nula celá dva x plus sedm. Třetí rovnice je už poněkud zajímavější, protože je zadaná jako y se rovná minus x. Vy se teď podíváte na ten náš směrnicový tvar a řeknete si, ale kde je q. Tady nikde nevidím q, to proto, že tady q je vlastně nulové. Takže tuto rovnici si můžeme představit jako y se rovná minus jedna x, minus x je to samé jako minus jedna x, plus nula, naše q je tedy nula. A náš průsečík s osou y je tedy nula a nula, přímo tady takto. A naše k, naše směrnice, je tady, tedy minus jedna, což si opět můžeme představit jako minus jedna jednina. A tedy když se u x posunu o jedna do plusu, u y se musím posunout o jedna ale do minusu, přímka bude opět klesat. Tedy o jedna a o jedna, o jedna a o jedna, o jedna a o jedna. To samé tady tímto směrem, o jedna a o jedna. Tentokrát jdu u x do minusu, takže u y musím do plusu, takto. A my hned vidíme, že to je vlastně přímka, která nám rozděluje ten druhý a čtvrtý kvadrant. Takto krásně. A to je tedy přímka rovnice y se rovná minus x. Poslední přímka, nakreslíme si ji šedě, ale napíšeme si to trošku jinou barvou, ať to vidíme na tom černém pozadí, je y se rovná 3 celé 75. A to je zase trošku jiný problém, tady nám zase chybí x ze vzorečku, ale bude to obdobné jako tady, když tam to x nevidíme, tak to znamená, že x je nulové a tedy si to můžeme představit jako y se rovná 0x plus 3 celé 75. Tak, průsečík je nám tedy jasný, je to 3,75, což je tři a tři čtvrtiny, takže někde tady. A to, že směrnice je nulová, znamená, že přímka nestoupá ani neklesá, my se můžeme u x posouvat o jakoukoli hodnotu, ale y bude stále tři celá sedmdesát pět, ať si tu dosadíme cokoli, y bude stále 3 celá 75 a tedy y bude stejné všude, tady to bude také 3 celá 75. Tady to bude také 3,75, i tady to bude 3,75. Kdekoli se podíváme u x, y bude vždy 3,75, konstantní. A ta přímka bude tedy vlastně rovnoběžná s osou x. Takto. Toto je tedy přímka zadaná rovnicí y se rovná 3 celá 75.