If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:11:22

Transkript

Na tomto obraze je pan René Descartes. Určitě už jste o něm někdy slyšeli. Byl to skvělý myslitel v oblasti matematiky i filosofie. Když se podíváme do dějin, tak nebyl sám. Takových mužů, kteří byli skvělí filosofové i matematici, bylo vícero. Byl to současník Galilea, umřel chvíli po Galileovi, ale jelikož se Galileo narodil podstatně dříve, o nějakých 20 let, tak Galileo žil něco přes 70 let a Descartes bohužel jenom něco přes 50. Jeho nejznámější výrok je asi tento: Myslím, tedy jsem. Ale to není jediné, o co se zasloužil. Dokázal toho hodně. A proč se o něm zmiňujeme právě tady po tom, co jsme si prošli základy algebry? Jde o to, že se mu podařilo zásadně propojit svět algebry a svět geometrie. Hned vám to vysvětlím. Bavili jsme se o algebře. Bavili jsme se o rovnicích, o nějakých symbolech, které nabývají nějakých hodnot. Takže jsme tam mohli vidět třeba něco takového. y = 2x - 1. Takovouto rovnici, která nám udává vztah mezi libovolným x a y. Můžeme si udělat klasickou tabulku, kterou už určitě znáte, kdy si vybereme nějakou hodnotu x a dopočítáme si hodnotu y. Můžeme si vybrat jakékoli hodnoty x, je to úplně jedno, může to být odmocnina ze 2, 6 sedmin, -5,9, ale aby se nám dobře počítalo, vybereme si nějaké hezké hodnoty. Tak třeba kdyby x bylo -2. Kolik bude y? Podle rovnice bude y 2 krát x minus 1, tedy 2 krát v tomto případě -2 minus 1. To je 2 krát -2 je -4 minus 1 je -5. Co nějaká další hodnota, třeba -1. y bude 2 krát tentokrát -1 minus 1, a tedy -2 minus 1 to je -3. Další hodnotou může být 0. y bude 2 krát x minus 1, a tedy 2 krát tentokrát 0 minus 1 a tedy -1. Pojďme ještě chvilku pokračovat. Třeba 1, x je 1. A y bude 2 krát 1 minus 1 a tedy 2 - 1, to je 1. A ještě nějaká poslední hodnota se nám sem vejde, třeba 2, kdy y bude 2 krát 2 minus 1, tedy 4 - 1, to je 3. Tady nahoře máme nějaký obecný vztah mezi x a y, daný touto rovnicí. A tady už jsme si ten vztah trochu zkonkretizovali, vybrali jsme si nějaké konkrétní hodnoty x a k nim dopočítali hodnoty y. Co se podařilo Descartovi je to, že zjistil, vymyslel, jak zobrazit tyto body, tento vztah té dvojice x a y, graficky, jak to zobrazit geometricky. A podařilo se mu tedy překlenout tu propast mezi tou abstraktní symbolickou algebrou a geometrií, která se zabývala tvary, velikostmi, úhly a tak podobně. Takže máme tady naší algebru a pak tady je samozřejmě už zmiňovaná geometrie. O přechod mezi tou algebrou a geometrií, o propojení, se určitě zasadilo více lidí, ale před Descartem jsme si obecně geometrii představovali jako geometrii Eukleidovskou. Tedy takovou, která se zabývá trojúhelníky a vztahy mezi trojúhelníky a jejich úhly. Zajímali jsme se o kružnice, nějaký jejich poloměr, o trojúhelníky vepsané a podobně. Prostě taková geometrie, kterou jste brali na druhém stupni základní školy. A Descartes si řekl: Já zvládnu zobrazit toto graficky, podobným způsobem jako Eukleides pracoval s trojúhelníky a kružnicemi. Takže jak to tedy bylo? Máme nějakou dvojrozměrnou plochu, třeba tato obrazovka je dvojrozměrná. Nebo list papíru, když zanedbáme jeho tloušťku, je také dvojrozměrná plocha. A proč se tomu říká dvojrozměrná? Protože tam máme 2 směry. 1 směr, shora dolů nebo zdola nahoru, prostě nahoru a dolů. A druhý rozměr, zleva doprava. Nějak takto. Nebo zprava doleva. Prostě doprava a doleva. To jsou naše 2 rozměry. Kdybychom měli trojrozměrný prostor, 3 rozměry, tak ještě máme směr dovnitř a ven. V dvojrozměrném prostoru máme ale tyto dva rozměry. Když se podíváme, máme tady dvě proměnné, x a y, tak proč bychom nemohli každé z těchto proměnných přiřadit jeden tento rozměr. Máme tady y, které nějakým způsobem závisí na x. Jeho hodnota se odvíjí podle toho, jaká je hodnota x. Tak bychom y mohli dát tady k této svislé ose. Byla by to osa y. x, které je nezávislé, je to nezávislá proměnná, to bychom mohli přiřadit k této vodorovné ose. Najednou tady máme osu x a osu y. Descartes přišel s konvencí, že budeme používat u proměnných nejčastěji x a y, respektive také z, když budeme pokračovat potom dál v algebře. A to, že x je u vodorovné osy a y u svislé je také nějaká další konvence, na které se prostě lidé domluvili. Ty osy si můžeme i očíslovat. Prvně si to můžeme takto vyznačit a potom očíslovat. Tady třeba takto, je to zhruba. Tady v počátku je 0 a pak to jde po jedné. 1, 2, 3, 4, třeba takto. -1, -2, -3, -4. A u y jdeme do plusu 1, 2, 3, 4 směrem nahoru a směrem dolů do minusu, -1, -2, -3, -4, -5. Samozřejmě mohli bychom udělat i čárku tady mezi, tady by bylo 1,5, tady 2,5 a tak dále, ale tohle nám prozatím stačí. Takže ty osy se takhle dají očíslovat. A Descartes tedy řekl, že zvládne každý z těchto párů hodnot, tento vztah, zobrazit do jednoho bodu v těch dvou rozměrech té soustavy, kterou tady máme, v té dvojrozměrné soustavě. No a jak na to? Pojďme se na to podívat. x je tady napsáno, že je -2. Vidíme tady osu x, -2 je přesně tady. Ještě tu ale máme y a y má být -5, což je tady. A kde je tedy ten náš hledaný bod? Když tady spustíme kolmici k ose x a kolmici k ose y, tak se to někde protne. A přímo tady se nachází náš bod -2 a -5. Těmto souřadnicím se říká kartézské a říká se jim kartézské, protože je vymyslel René Descartes, který je latinsky Renatus Cartesius. Takže jelikož Cartesius, tak jsou to souřadnice kartézské. Přiřadil tedy tomuto vztahu, této dvojici x a y, 1 bod v dvojrozměrné soustavě souřadnic. A další konvencí, kterou si musíte pamatovat, je, že když zapisujeme souřadnice bodů, tak na prvním místě bude souřadnice x a na druhém místě souřadnice y. Na tom se lidi taky domluvili. Pojďme tedy zakreslit ještě ty naše zbylé body. Tady máme -1 a -3. -1 je tady, -3 je tady. Takže ten bod je někde tady. -1 a -3. Zapíšeme si souřadnice bodu. 0 a -1. 0 je tady, v počátku souřadnic a -1 je tady, takže ten bod je tady. 0 a -1. Dalším bodem je 1 a 1. Takže to bude zhruba tady. 1 a 1. A poslední je 2 a 3. 2 je tady a 3 je tady. Takže někde zhruba tady. 2 a 3. Výborně. My jsme si tady vybrali jen pár hodnot x a k nim přiřadili pár hodnot y, tudíž tady máme jednotlivé body. Ale co by se stalo, kdybychom vzali všechny hodnoty x a chtěli je, spolu s odpovídajícími hodnotami y, zakreslit tady do té soustavy souřadnic? Možná, že už tady něco vidíte. Kdybychom vzali všechny ty hodnoty x a y, tak by nám tady vznikla takováhle přímka. Teď je to samozřejmě zhruba, trošku mi to tady nepatrně ulétlo, ale můžete mi věřit, že pokud bychom opravdu vzali všechny hodnoty x a dopočítali hodnoty y, tak všechny ty dvojice, všechny ty body s těmi souřadnicemi, které nám tady vyjdou, by ležely na této přímce. A naopak, kdybychom vzali jakýkoli bod, který leží na této přímce, a zkusili jeho souřadnice dosadit sem, tak by ty souřadnice, ta dvojice x a y, splňovaly tuto rovnici. Ta rovnice by nám vyšla. Když se teď podíváme, máme to sice velice zhruba, ale zkusme se podívat třeba tady. Tady je nějaký bod, který má, zdá se, souřadnice y 2 a x by mohlo být 1,5. Když si to zkusíme dosadit, tak y má být 2 a x 1,5. 2 se rovná 2 krát 1,5, což je 3, minus 1, to je opravdu 2. Takže když vezmeme jakýkoli bod, který leží na této přímce, a dosadíme jeho souřadnice do této rovnice, tak nám to krásně vyjde. Takže ještě jednou. Tady tomuto pánovi se podařilo překlenout tu propast mezi algebrou a geometrií a krásně to propojit. A tedy že, když vezmeme dvojice x a y, tak je můžeme zobrazit do tohoto dvojrozměrného prostoru, do této soustavy souřadnic, a můžeme jim tedy přisoudit souřadnice, V algebře se prvně budeme potkávat s tímto typem rovnic, který už znáte a kterému se říká lineární rovnice. Tak rovnice to pro Vás není nic nového, ale co ta lineární, proč lineární? Právě proto, že vezmeme-li řešení rovnice a zakreslíme je do soustavy souřadnic, tak nám vyjde přímka, nějaká linie, čára, přímka. Proto rovnice lineární. Později se potom budeme setkávat i s jinými typy rovnic, které když si je zakreslíme, tak nám vyjde nějaká křivka, nebo dokonce nějaká úplně jiná šílenost. Prozatím ale takto.