Souřadnice vrcholu paraboly zadané předpisem - řešený příklad

V této úloze máme daný předpis kvadratické funkce a naším úkolem je najít vrchol příslušné paraboly. Doporučuji video zastavit a zkusit si úlohu vyřešit samostatně. Než se pustíme do samotného výpočtu, uděláme si krátký náčrtek, ať víme, co počítáme. Parabola má u členu x na druhou parametr 5. To znamená, že je otevřená nahoru a její vrchol je tedy minimem paraboly, minimem této funkce. Označme jeho souřadnice x0 a y0. Úloha se dá řešit více způsoby. Asi nejjednodušší je použít vzorec pro výpočet souřadnic vrcholu. Vzorec říká, že x-ová souřadnice vrcholu je minus b lomeno dvě a, kdy a je parametr u x na druhou a b je parametr u x. Pozor, patří tam i minus. V čitateli tak dostáváme minus minus 30, což je plus 30, ve jmenovateli máme dvakrát 5. Dvakrát 5 je 10 a 30 děleno deseti je 3. Tím máme x-ovou souřadnici a nyní použijeme samotný předpis, dosadíme do něj číslo tři a vypočítáme y-ovou souřadnici. Dostáváme tak 5 krát tři na druhou minus třicet krát 3 plus 8. Tento výraz můžeme zadat do kalkulačky, ale proč si neprocvičit aritmetiku. 3 na druhou je 9, krát 5 je 45, 30 krát 3 je 90, osmičku opíšeme a nyní už jen opravdu sčítáme a odčítáme. Výsledek je minus 37. Souřadnice vrcholu tak jsou 3 a minus 37. Druhý postup je o něco zdlouhavější, ale využívá doplnění na čtverec, což se hodí i jinde, a výsledkem je mnohem užitečnější předpis kvadratické funkce. Nejprve si tedy opišme zadaný předpis 5x na druhou minus 30x plus 8. Tento výraz se budeme snažit přepsat tak, aby v něm bylo x pouze jedno. Nejprve vytkneme číslo pět z prvních dvou členů, v závorce tak dostáváme x na druhou a 30 děleno pěti je 6, tedy minus 6x, plus 8 opíšeme, to tam zůstane ještě nějakou dobu. Nyní výraz v závorce bychom chtěli přepsat na tvar a na druhou minus dvě ab plus b na druhou. To abychom jej pak mohli dát do závorky a umocnit. A na druhou máme, to je x na druhou, minus 6 x je minus dvě ab, přepíšeme to tedy jako minus dva krát tři krát x, aby struktura vzorce více vynikla. A nyní potřebujeme ještě b na druhou, parametr b už vidíme v druhém členu, je to číslo tři, a b na druhou je tedy 3 na druhou. Jenže nemůžeme jen tak připisovat čísla do výrazu, a proto tři na druhou musíme ještě odečíst. V součtu jsme tak přičetli nulu, tedy vlastně jsme výraz nijak nezměnili. Na závěr ještě dopíšeme plus 8. Pojďme na další krok. Pětkrát před závorkou zůstává, a nyní v závorce dojde k zásadní úpravě, totiž a na druhou minus dvě ab plus b na druhou, což jsme si v závorce připravili, se dá napsat podle vzorce jako a minus b to celé na druhou. Přesně to uděláme. V našem případě a je x a b je 3. Dostáváme tak x minus 3 to celé na druhou. To je ta modrá část a ještě nám zde zbývá minus tři na druhou, což je minus 9 a za závorkou plus 8. To nejtěžší je za námi a nyní roznásobíme hranatou závorku. Dostáváme tak 5 krát závorka, x minus tři na druhou. A dále pětkrát minus 9, neboli minus 5 krát 9. Plus 8 stále zůstává. Nyní ještě dáme dohromady konstanty za závorkou, to znamená 5 krát x minus tři na druhou necháme, to už je přesně v tom tvaru, v jakém to potřebujeme. A dále máme minus pět krát devět je 45, plus osm je minus 37. A máme vyhráno. Z tohoto tvaru už snadno vyčteme souřadnice vrcholu. Základní kvadratická funkce x na druhou byla posunuta o tři jednotky doprava. Proto x0 je 3. A o 37 jednotek dolů, proto y0 je minus 37. Vidíme, že jsme dospěli ke stejnému výsledku jako pomocí vzorce. Bylo to o něco zdlouhavější. Ale věřte mi, tento postup doplnění na čtverec je velice užitečná operace.