Paraboly - úvod

V tomto videu si uděláme krátký stručný úvod do parabol. Paraboly jsou geometrické křivky a pro nás budou důležité, protože jsou to grafy jisté skupiny funkcí. Na grafu vidíme tři příklady parabol. Pojďme se podívat, co mají společné a v čem se naopak liší. Všechny paraboly jsou si tvarem poměrně podobné. Jsou to taková účka nebo kopce. Některé paraboly jsou otevřené nahoru, těm se někdy říká ďolík nebo miska. To je ta světle modrá. Některé paraboly jsou otevřené dolů. Těm se často říká kopec. Parabola jakožto funkce má vždycky jeden extrém. Tmavě modrá má maximum, fialová parabola má také maximum. Naopak světle modrá parabola, ta má minimum. Minima a maxima jsou důležité body funkce, zvlášť při praktických problémech a různých slovních úlohách. Často tak budeme extrémy hledat a určovat jejich přesnou polohu. Například tmavě modrá parabola má maximum v bodě minus 5 a hodnota tohoto maxima je 2. To můžeme zapsat tak, že souřadnice maxima jsou minus 5 a 2. A právě to, jestli je parabola kopec nebo ďolíček souvisí s tím, jestli má minimum nebo maximum. Ďolíky mají minimum. Zatímco kopce mají maximum. Maximum nebo minimum je pro parabolu velmi důležité, a tak má speciální název a sice vrchol paraboly. Další vlastnosti, které u funkcí často zkoumáme, jsou průsečíky s osami. Průsečíky s osami x vidíme na grafu například zde, často je označíme P(x). Jsou to body grafu, které mají y-ovou souřadnici rovnou 0. Podobně hledáme průsečíky s osou y. To jsou body, které mají x-ovou souřadnici rovnou 0. Zatímco průsečíky s osou x u paraboly existovat nemusí, vidíme to například u světle modré paraboly, která nemá průsečík s osou x, průsečíky s osou y u těchto parabol vždycky existují, ačkoliv je nemusíme přímo vidět na grafu, jsou někde v nenakreslené části, parabola totiž není omezená ani zleva ani zprava, a to ani ta světle modrá, která je poměrně úzká, ale přesto její body nabývají všech možných hodnot na souřadnici x, všech reálných čísel. Tyto funkce tedy, které mají za graf parabolu, budou mít za definiční obor všechna reálná čísla. Naopak shora nebo zdola je parabola omezená vždy, tedy jako funkce je omezená, podle toho, jestli se jedná o ďolík nebo misku, podle toho, jestli má maximum nebo minimum. Další zajímavou a užitečnou vlastností je osová symetrie paraboly. Každá parabola má osu souměrnosti. Jak ďolíčky tak misky mají svislou osu souměrnosti a to znamená, že ji můžeme svisle překlopit zleva doprava. A dostáváme stejný obraz. Například tyto žluté body by se překlopily jeden na druhý. Také to znamená, že průsečíky s osou x, někdy jim říkáme kořeny, jsou také souměrné podle této osy. Tato modrá parabola protíná osu x v bodech minus sedm a minus tři. A díky symetrii víme, že přesně uprostřed, tedy v bodě minus 5, najdeme x-ovou souřadnici vrcholu, v tomto případě maxima. To platí obecně i u ostatních parabol, že x-ová souřadnice vrcholu maxima nebo minima je přesně uprostřed mezi x-ovými souřadnicemi průsečíků, průsečíků s osou x. V tomto videu se bavíme o parabolách, které mají svislou osu souměrnosti. Už jsme jim začali velmi neformálně říkat ďolíčky a kopce, ale parabola, jako geometrická křivka, může být klidně nakloněná, nemusí mít svislou osu souměrnosti. Jenže taková parabola už nemůže být grafem funkce, například tato, pro x rovno 6 máme dvě různé hodnoty y. To je pro funkci zcela nepřípustné. A taková parabola nemůže být grafem funkce. Proto o takových parabolách v rámci kapitoly funkcí nemluvíme. S parabolami, které nemají svislou osu souměrnosti se setkáte později v analytické geometrii. Když už se zase bavíme o funkcích, tak je dobré říct, že funkce jejichž grafem je parabola, se nazývají k kvadratické. Budeme si tedy povídat o kvadratických funkcích. A abyste měli nějakou představu, jak vypadá jejich předpis, tak ten nejjednodušší předpis kvadratické funkce je y se rovná x na druhou. Samozřejmě, předpis může být i o něco složitější. Například y se rovná 3x na druhou minus 4x plus 2. Doufám, že vás tento úvod nevyděsil. Všechny poznatky ještě podrobně projdeme v jednotlivých videích.