Relace a funkce

Je relace zadaná uspořádanými dvojicemi níže i funkce? Máme tady nějakou otázku, máme tady relaci a ptají se nás, jestli je to i funkce. Abychom to mohli společně vyřešit, pojďme si trošku zopakovat, co to je relace a co to je funkce. Relace je vlastně zjednodušeně nějaký vztah, nějaké přiřazení prvku jiným prvkům. V relaci máme jednu množinu prvků, které můžeme do relace vložit, pro které je relace definovaná, nějaké naše možné vstupy, a téhle množině říkáme definiční obor. A potom tam máme druhou množinu, množinu nějakých možných výstupů, nějakých prvků, které můžeme přiřadit prvkům z definičního oboru. Této množině říkáme obor hodnot. A ta relace vlastně vypadá nějak takto. Vezmeme nějaký prvek z definičního oboru, třeba tady číslo 1 a tomu prvku přiřadíme nějaký prvek z oboru hodnot, třeba číslo 2. Potom můžeme vzít nějaký jiný prvek z definičního oboru, třeba číslo 2, a jemu přiřadit třeba taky číslo 2 v oboru hodnot. Pak můžeme mít třeba číslo 3 a jemu můžeme přiřadit v oboru hodnot číslo minus 7. Teď jsme si to ukázali takhle graficky, ale ono se to dá zapsat i hezky pomocí uspořádaných dvojic jako to máme tady. To by potom vypadalo nějak takto, máme tady 1 a 2, to je první uspořádaná dvojice, potom 2 a 2, to je druhá uspořádaná dvojice a potom 3 a -7, to je třetí uspořádaná dvojice. Takhle by to bylo zapsáno pomocí těch uspořádaných dvojic. Já vám teď rovnou řeknu, že tato relace by byla i funkcí, protože to přiřazení, které tu máme, je nějakým způsobem jednoznačné. A to tak, že vezmeme jeden prvek z definičního oboru, nějaký jeden vstup, a jemu přiřadíme právě jeden prvek z oboru hodnot, právě jeden výstup. Jednoznačně tedy víme, že pokud vložíme do funkce jedničku, tak dostaneme dvojku. Pokud bude na vstupu dvojka, na výstupu dostaneme dvojku. Přesně víme, co bude na výstupu, nemáme tam více možností, máme vždycky právě jednu. My vlastně vezmeme nějaký ten prvek z definičního oboru, to nám projde nějakou tou krabičkou té funkce, pomocí toho mu přiřadíme nějaký další prvek z oboru hodnot. Takže toto by byla i funkce. Napíšeme si to tady, ať je to jasné. Takto může vypadat nějaká funkce. Teď si pojďme ukázat něco, co funkce není. Zase si tady vytvoříme nějaký definiční obor a nějaký obor hodnot. Máme tady třeba číslo 1, kterému přiřadíme v oboru hodnot číslo 2. Pak tady máme číslo 2, kterému přiřadíme číslo třeba -3. Ale teď pozor, ještě provedeme jednu věc, číslu 1 přiřadíme v oboru hodnot ještě další prvek a to číslo 4. Kdybychom to zase zapsali pomocí uspořádaných dvojic, tak by to bylo v tom pořadí, v jakém jsme to kreslili, 1 a 2, pak jsme nakreslili 2 a -3, a potom 1 a 4. Ale toto, jak už tedy asi očekáváte, protože už jsem to řekla, není funkce, je to naprosto korektní relace, ale už to není funkce a to proč? To proto, že my tady nevíme, co dostaneme na výstupu, když na vstupu bude jednička. Když vybereme z definičního oboru jedničku, co jí přiřadíme? Přiřadíme jí dvojku nebo čtyřku? Takhle to u funkce nefunguje. U funkce máme jeden vstup a jeden výstup. Rozhodně ne dva možné výstupy, ze kterých bychom si snad měli vybírat, nebo nevím co. Takže tohle to rozhodně není funkce. Je to relace, ale funkce už to není. Výborně, teď jsme si to tak trošku vysvětlili, tak se pojďme podívat na ten náš příklad. Máme tady nějaké uspořádané dvojice, mohli bychom si to zakreslit podobně jako tady, ale pojďme to dát do kupy trochu víc matematicky, formálně, pojďme si vypsat definiční obor a obor hodnot podle těchto uspořádaných dvojic. Definiční obor bude tedy číslo -3, číslo -2, číslo 0, -2, to už tu máme, to nebudeme opakovat a číslo 3. Pojďme na obor hodnot, obor hodnot, a ten bude obsahovat čísla 2, 4, 5, 6 a 8. A teď se pojďme podívat, jakým číslům z definičního oboru přiřadíme jaká čísla z oboru hodnot, tady podle těchto uspořádaných dvojic. První uspořádanou dvojicí je číslo -3 a 2, takže číslu -3 přiřadíme dvojku. Potom tu máme -2 a 4, takže minus dvojce přiřadíme z oboru hodnot čtyřku. 0 a 5, takže nula a pět, -2 a 6, tak teď jsme se dostali do zajímavé situace, číslu minus dva přiřadíme druhý prvek z oboru hodnot a to číslo šest, poslední, 3 a 8, trojka s osmičkou. Je tato relace tedy funkce? Já se vsadím, že vy už znáte odpověď, protože jsme si to tady vysvětlili, a já tady rovnou napíšu, že to funkce rozhodně není. Pokud ještě netušíte proč, tak se na to pojďme podívat společně. Řekli jsme si, že u funkce máme pro jeden vstup jeden výstup, pro jeden prvek z definičního oboru máme vždy jen jeden prvek z oboru hodnot. A tady tomu tak rozhodně není. Protože tady máme problémový prvek z definičního oboru číslo minus dva, kterému jsme přiřadili jak číslo 4, tak číslo 6. A jak si teď máme vybrat? Když tedy vložíme dvojku do této jakoby jsme předpokládali funkce, co bychom dostali na výstupu? Čtyřku nebo šestku? U funkce si nemůžeme vybírat, u funkce máme jednoznačný výstup. Takže tady, jelikož tu máme dvě možnosti z oboru hodnot, tak toto rozhodně funkce není. Je to relace, ale funkce to není.