Lokální a globální extrémy: řešený příklad

Dnes se budeme zabývat extrémy funkcí, a to jak lokálními, tak globálními. A budeme je vyznačovat v grafech. V prvním grafu tady máme tentokrát vyznačit extrémy lokální. Lokálními extrémy už jsme se zabývali, tak si to video zkuste zastavit a zkuste na to přijít sami. A my si teď krátce zopakujeme, co to ty lokální extrémy vlastně jsou. Takže máme lokální extrémy dvojího druhu. Máme lokální maximum a máme lokální minimum. Logicky. Lokální maximum bude vždycky vypadat jako takový vršek nějakého kopečku popřípadě jako takový vrcholek. A nemusí to být nutně nejvyšší vrcholek funkce, může jich tam být mnohem víc a vyšších. Vlastně každý ten vrcholek bude jedno lokální maximum. A obdobně lokální minimum bude naopak takové údolíčko, ten bod nejnižší v údolíčku, popřípadě to klidně může vypadat takto. A opět to nemusí být nejnižší bod té funkce, lokálních minim a maxim můžeme mít hodně. Může se dokonce stát, že budeme mít bod, který bude lokální minimum i maximum zároveň. Jak k tomu může dojít si ukážeme hned tady, jenom tak rychle, tady si načrtnu osu x a y, to je moje x a y, velice zběžně. A kdybychom měli například konstantní funkci a na ní si vybrali nějaký bod, třeba tady bod C, a vybrali si nějaký otevřený interval, tak my vidíme, že na tom otevřeném intervalu je ta funkční hodnota v tom bodě C alespoň tak vysoká jako ve všech okolních bodech, ale zároveň také alespoň tak nízká jako ve všech okolních bodech, takže splňuje podmínky jak lokálního minima tak maxima. Ale takové případy se nám nebudou stávat tak často. Většinou to bude vypadat nějak takto. Pojďme tedy na ten graf. Začneme s lokálním maximem. Vidíme, že tady máme nějaký vrcholek. A pak tady máme nějaký vrcholek. Možná by vás to svádělo k tomu říct, že tady aha, tady dívej, tady je nějaký výstup. To by taky mohlo být lokální maximum. Ale pozor. Ano, tady v tom levém okolí mají ty body opravdu nižší funkční hodnoty než tady v tomto bodě, ale tady vpravo už ty funkční hodnoty těch bodů stoupají, jsou vyšší než v tomto bodě, takže to není lokální maximum. Stejně tak toto není lokální maximum, protože tady jsou ty hodnoty nižší. Ale tady jsou ty hodnoty v tom levém okolí zase vyšší než v tomto bodě. Takže to také není lokální maximum. A ještě se tady podíváme na to lokální minimum. To budou nějaká ta údolíčka. Vidím jedno tady, potom vidím jedno tady a pak je ještě tady jedno. To nebylo moc složité, máme tady dvě lokální maxima a tři lokální minima. Pojďme na druhý případ, kde se tentokrát budeme zabývat globálními extrémy. To už je zase něco trochu jiného, ale také už jsme to probírali, tak si to video zase zastavte a zkuste si sami v tom grafu vyznačit globální extrémy. Představit si to, jak by to tedy mělo vypadat. Globální maximum nastává v bodě x rovná se c, pokud, to bude trošku delší, pro všechna x z definičního oboru, to hodně zkrátím, platí, že funkční hodnota v bodě c je větší nebo rovna funkční hodnotě v bodě x, takže ta funkční hodnota v tom bodě c, v tom bodě globálního maxima, je alespoň tak vysoká jako funkční hodnota v jakémkoli jiném bodě z definičního oboru té funkce. Obdobně pak globální minimum, to je vlastně úplně stejné, nastává v bodě x rovná se c, pokud pro všechna x z definiční oboru, je to trošku dlouhé, ale nechci vám tu psát složité matematické zápisy, pro všechna x z definičního oboru platí, že funkční hodnota v bodě c je menší nebo rovna funkční hodnotě v bodě x, takže ta funkční hodnota v bodě c, kde nastává globální minimum, je nižší nebo alespoň rovna funkční hodnotě ve všech ostatních bodech z definičního oboru. Tak se na to pojďme podívat tady v tom grafu. Globální maximum. Vidíme, že to nastane tady, na vrcholu tohoto kopečku. A globální minimum máme tady, na samé hranici definičního oboru funkce, přímo tady. Ještě vám ukážu jednu věc. Kdyby tady ta funkce ještě trošku pokračovala, tady tím způsobem nahoru, a tady potom by byl takový konstantní kousek, tak by ta situace byla trošku jiná, že? Tady ten bod by nebyl globální maximum, ale globální maximum by bylo naopak tady v té konstantní části. Ale nebyl by to jediný bod, protože všechny ty body by měly funkční hodnotu alespoň tak vysokou jako všechny ostatní body z definičního oboru, takže tady by bylo mnoho bodů, ve kterých nastává globální maximum. Ale opět tohle neuvidíte až tak často. Většinou to bude vypadat nějak takto.