Vstupní hodnoty a funkční hodnoty inverzních funkcí

Vy už určitě máte představu o tom, jak se určuje hodnota funkce v nějakém bodě. Pokud máme funkci f(x) zadanou touto tabulkou a někdo po nás bude chtít, abychom určili hodnotu funkce v bodě -9, tak jediné, co uděláme, je, že se podíváme do tabulky a vidíme, že -9, když jí dostaneme na vstupu, dostaneme na výstupu číslo 5. To je jednoduché. A vy už určitě umíte i složitější příklady. Tak co třeba kdybychom chtěli f, hodnotu funkce f, v..., f v bodě -9 + 1. Vím, že to vypadá trošku děsivě, ale vlastně na tom není nic složitého. Začneme vyhodnocovat tady zevnitř. f v bodě -9 je 5. To už jsme tady zjistili. Takže to vlastně bude f v bodě 5 + 1, tedy f v bodě 6 a to už se zase jenom podíváme do tabulky a zjistíme, že to je -7. Tak tohle už umíme. To nás nepřekvapí. A my bychom se teď chtěli naučit, jak určovat hodnoty inverzní funkce v jednotlivých bodech. Když se podíváme na tuto funkci, tak vidíme, že tady v této funkci existuje inverzní funkce, poněvadž se nám žádná dvě x nezobrazují na stejnou hodnotu. Takže víme,že existuje inverzní funkce. Je to zobrazení 1 : 1. Takže existuje inverzní funkce. A umíme my teď spočítat hodnotu inverzní funkce, tedy f na minus první v bodě 8? Video si zastavte a zkuste na to přijít sami. A my si teď společně zopakujeme, co vlastně funkce dělají. Funkce nám vezme hodnotu z jedné množiny a přiřadí hodnotu z množiny druhé. Zobrazí nám jednu hodnotu na druhou. Takovýmto způsobem. U funkcí obvykle těmto množinám říkáme definiční obor a obor hodnot. A takto nám to zobrazí funkce f. A pokud chceme inverzní funkci, tak inverzní funkce půjde přesně opačným směrem, tedy nám to zobrazí zpátky. Půjde z oboru hodnot té původní funkce do původního definičního oboru. Takže z oboru hodnot bude její definiční obor a z definičního oboru původní funkce bude její obor hodnot. My bychom vlastně chtěli zjistit, jaká je hodnota té inverzní funkce v bodě 8. Takže tady bude osmička. Co tady bylo na počátku, co se nám s původní funkcí zobrazilo na číslo 8. Když se podíváme do tabulky, najdeme si číslo 8, tak vidíme, že jsme vycházeli z hodnoty 9. Vidíme, že se nám osmička v té inverzní funkci zobrazí na devítku, poněvadž v té původní funkci to bylo přesně naopak. Z devítky na osmičku. Takže už víme, že hodnota té inverzní funkce v bodě 8 je 9. Mám-li tedy funkci zadanou tabulkou, jednoduše jenom prohodím ty dva sloupce. Aby to bylo jasnější, tak si tu tabulku můžeme přepsat. Tady bude x a tady bude f na minus první x, tedy ty hodnoty té inverzní funkce, takže půjdeme, jak už jsem řekla, přesně naopak. Kde bylo -9, které se zobrazilo na pětku. Tam bude pětka, která se zobrazí na -9. Přesně takto. Místo minus 7 na sedmičku, tak se nám sedmička zobrazí na -7. 13 na pětku, -7 přiřadíme 6, osmičce devítku, to už jsme zjistili a 12 jedenáctku. Jediné, co jsme udělali je, že jsme prohodili tyto dva sloupce. A dostali jsme hodnoty té funkce inverzní. To je, kdybychom se na to podívali znovu, hodnota inverzní funkce v bodě 8. Podívám se do tabulky, vidím že to je 9. Výborně. Jednoduché. Pojďme zkusit něco lepšího, něco zajímavějšího, jak bychom třeba spočítali f v f na minus prvou v bodě 7. Jak na to? Začneme zase zevnitř. f na minus prvou v bodě 7, kouknu do tabulky. Vidím že to je -7. Takže dostávám: f v bodě -7, kouknu do původní tabulky a f v bodě -7 je 7, což jednoznačně dává smysl. Tady je sedmička i tady, poněvadž my jsme vlastně šli tam a zpátky. Prvně jsme šli ze 7 na -7 a pak z -7 na 7, poněvadž tu máme jak původní funkci, tak funkci inverzní. Abychom ještě lépe pochopili, jak zobrazovat tam a zpátky, tak si dáme ještě jeden příklad, tentokrát trošku odlišný. Třeba f na minus prvou v f na minus prvou v bodě 13. Tady už máme jenom funkci inverzní. Začneme zase vyhodnocením, vypočítáním této závorky, f na minus prvou v bodě 13, kouknu opět do tabulky, vidím, že to je 5, poněvadž v té původní to bylo naopak,5 se nám zobrazila na 13. Tady se nám třináctka zobrazuje na 5, takže tady dostaneme f na minus první v bodě 5 a hodnota té inverzní funkce v bodě 5 je -9, poněvadž zase u původní funkce to bylo přesně naopak na vstupu -9 na výstupu 5, tady máme na vstupu 5 na výstupu -9 přesně naopak. To je náš výsledek. Vím, že to ze začátku může být trošku matoucí to zobrazování tam a zpátky. Ale nebojte se, kdykoli budete zmatení, zkuste si uvědomit, že funkce dělá to, že zobrazuje z jedné množiny do druhé množiny. A inverzní funkce potom dělá to, že zobrazuje opačným směrem, z té druhé množiny do té první. A mám-li funkci zadanou tabulkou, tak jednoduše prohodím ty dva sloupce a dostanu hodnoty funkce inverzní.