Hlavní obsah
Funkce
Kurz: Funkce > Kapitola 3
Lekce 10: Inverzní funkce - úvodInverzní funkce - úvod
Ukážeme si, co jsou inverzní funkce. Pak vysvětlíme, jak algebraicky určit inverzní funkci, nakonec si projdeme, jak se inverzní vztah dvou funkcí projeví v grafu. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Dnes si povíme něco málo o tom, co funkce
vlastně dělají a co se stane s funkcí po převedení na funkci inverzní. Můžeme si představit nějakou funkci, třeba klasicky
f(x), která se bude rovnat 2x + 4. Takže když budeme chtít znát hodnotu funkce v bodě
2, tak to bude 2 krát 2, což je 4 plus 4, 8 nebo třeba f v bodě
3, což bude rovno 2 krát 3, 6 plus 4. To je 10. Tohle už umíme, to známe. To je jednoduché. Pojďme se ale podívat
na funkce trošku abstraktně. My víme, že máme nějakou množinu
hodnot, které můžeme dosadit do funkce. Takové množině my říkáme definiční obor a
pak máme ještě jednu množinu, tentokrát množinu hodnot, které můžeme dostat
na výstupu z funkce. Nějaká množina platných výstupů a
to je obor hodnot. My se můžeme podívat na to, co jsme
si spočítali tady, a můžeme si to tady dokreslit. Do funkce jsme vložili dvojku a trojku, tedy funkci
jsme dali na vstup dvojku a trojku, takže určitě patří do definičního oboru. Třeba někde tady bude dvojka a
třeba někdo tady bude trojka. Určitě už jste si všimli, že tady asi
definiční oborem budou celá reálná čísla, ale to nás teď moc nezajímá, teď jsme si jenom
uvedli tady dva příklady, a vidíme, že do oboru hodnot budou patřit čísla 8
a 10, 8 a 10. A jak vlastně funguje taková funkce? Funkce vlastně vezme vstup a
tomu vstupu přiřadí nějaký výstup, vstup se zobrazí na nějaký výstup. V tomto případě nám funkce přiřadí k dvojce
osmičku, tedy dvojka se nám zobrazí na osmičku. Tato funkce f nám
k dvojce přiřadí osmičku. Obdobně nám tato funkce
trojce přiřadí desítku. Trojka se nám zobrazí
na desítku nějak takto. Co kdybychom ale chtěli
jít opačným směrem. Co kdybychom chtěli vzít osmičku a dostat
zpátky dvojku nebo vzít desítku a dostat zpátky trojku. Něčemu takovému bychom
říkali inverzní funkce. Značí se to takto. F minus jedna a chtěli bychom tedy do té
funkce vložit osmičku a ta funkce by nám měla dát na výstupu dvojku. Obdobně tady bychom chtěli dát té funkci desítku
a ta funkce by nám měla té desítce na výstupu přiřadit číslo tři. Teď to vypadá možná trošku zvláštně, ale
asi si nedokážete představit, jak něco takového vlastně je možné. Ale nebojte, není to vůbec těžké. Pojďme si toto téma
rozpracovat trošku dál. Tady si můžeme představit u té funkce, že tady máme
vlastně y se rovná f(x), tak jak to známe. My teď vlastně máme na
vstupu x a na výstupu y. Pokud bychom to ale chtěli obrátit, tak bychom tedy
chtěli na vstupu dát funkci to y a chtěli bychom dostat tu hodnotu x. Naopak. Jak bychom to udělali? Popišme si tady ten předpis funkce bokem. y se
rovná dvě x plus čtyři a my chceme dostat předpis pro x. Takže není nic jednoduššího,
než si vyjádřit x. Tady z této rovnice tak, že odečteme
4 dostaneme y minus 4 je rovno dvě x vydělíme dvěma a dostaneme y
lomeno dvěma minus 2 je rovno x. Já to ještě opíšu tady trochu hezčím
způsobem, takže x bude rovno jedna polovina y minus 2. Teď jsme si vyjádřili x z této rovnice, z
tohoto předpisu té naší funkce f(x), takže jsme začali s tou původní a teď jsme si
vyjádřili x, na vstupu dáváme y a na výstupu dostaneme x přesně naopak
oproti té původní funkci. Takže toto je inverzní funkce. Je to vlastně inverzní funkce jako funkce
y. Tady máme y jako funkci x. A tady by to bylo jako funkce y. Toto si ještě můžeme zapsat takto. Že to je ta inverzní funkce, jak už jsme
řekli, je to tedy funkce y, jak jsem teď řekla. A ta je rovno
jedna polovina y minus 2. Ještě provedeme takovou jednu malou úpravu. Tady
máme proměnnou y, ale my tam vlastně můžeme dosadit jakoukoli jinou proměnnou, třeba
a, b, c anebo také x. Takže si to můžeme přepsat takto. Za
pomocí x, ať vás to nemáte. Pouze jsme si změnili název proměnné. Takže toto je funkce inverzní k funkci f(x),
značíme takto. Jak už jsme si řekli, určitě jste si už všimli, že vlastně když my jdeme
opačným směrem, tak se nám z oboru hodnot stal obor definiční a z definičního oboru
se nám stal obor hodnot. Takto to funguje u inverzní funkcí. Pozor, pokud ovšem k dané funkci funkce
inverzní existuje, což není vždycky pravda. Pojďme se ještě podívat, jak to bude vypadat
v grafu, když si tyhle dvě funkce zaznačíme do grafu. Tady máme f(x), dvě x plus 4, průsečík s
osou y je tedy v bodě 4, tady, a směrnici 2. Takže to bude strmě stoupat. Takže si to zhruba načrtneme takhle nadvakrát,
ať je to co nejpřesnější, ať to vidíte hezky. Nějak takto. A teď tady máme tu naši inverzní
funkci k té funkci f(x). A to je jedna polovina x minus 2 a tedy
průsečík s osu y je v bodě minus 2 a směrnice jedna polovina, takže to bude nějak
takto, opět črtám, nic super přesného. To bude ta naše inverzní funkce. Teď se na to podívejte. A schválně jestli vás něco napadne, je
mezi těmi dvěma grafy funkcí nějaká souvislost? Souvisejí spolu nějakým způsobem? Pokud vás to ještě úplně netrklo, tak
já tady načrtnu ještě jednu věc. Toto je přímka znázorňující y se rovná
x, tedy přímka, která na poloviny dělí první a třetí kvadrant. A teď už to určitě vidíte, tyto dvě funkce, ta
funkce a ta funkce k ní inverzní a její grafy jsou osově souměrné podle této
přímky, podle přímky y se rovná x. Pojďme se ještě podívat, proč
tomu tak vlastně je. Pojďme si vyzkoušet jestli nám sedí
to, co jsme chtěli udělat. Že tato funkce má něco na vstupu a na
výstupu a tato funkce to má přesně naopak. Jak to dopadne, když vyhodnotíme tu původní
funkci v bodě nula. V bodě nula, to je ten průsečík s osou y. To bude 4. Takže my bychom teď vlastně chtěli,
aby v bodě 4 ta inverzní funkce měla
funkční hodnotu nula. Pojďme se podívat, jestli tomu opravdu
tak je. V bodě 4, ano, vidíme, že to máme správně. Má opravdu inverzní funkce hodnotu
0, takže jsme počítali správně. Můžeme si to ještě dokreslit tady. Pro lepší představu v původní funkci jsme měli
bod 0 a tady v oboru hodnot byla hodnota 4 a ta původní funkce vzala nulu
a na výstupu jsme dostali čtyřku, takže z nuly do čtyřky. A ta nová funkce, ta funkce inverzní, vzala čtyřku a
na výstupu jsme dostali nulu. To tady napíšu tímto
přesně opačným způsobem. V dalších videích si ukážeme další příklady, jak
to počítat, jak tomu lépe rozumět. Ale myslím si, že pro
začátek by to dneska stačilo.