Inverzní funkce - úvod

Dnes si povíme něco málo o tom, co funkce vlastně dělají a co se stane s funkcí po převedení na funkci inverzní. Můžeme si představit nějakou funkci, třeba klasicky f(x), která se bude rovnat 2x + 4. Takže když budeme chtít znát hodnotu funkce v bodě 2, tak to bude 2 krát 2, což je 4 plus 4, 8 nebo třeba f v bodě 3, což bude rovno 2 krát 3, 6 plus 4. To je 10. Tohle už umíme, to známe. To je jednoduché. Pojďme se ale podívat na funkce trošku abstraktně. My víme, že máme nějakou množinu hodnot, které můžeme dosadit do funkce. Takové množině my říkáme definiční obor a pak máme ještě jednu množinu, tentokrát množinu hodnot, které můžeme dostat na výstupu z funkce. Nějaká množina platných výstupů a to je obor hodnot. My se můžeme podívat na to, co jsme si spočítali tady, a můžeme si to tady dokreslit. Do funkce jsme vložili dvojku a trojku, tedy funkci jsme dali na vstup dvojku a trojku, takže určitě patří do definičního oboru. Třeba někde tady bude dvojka a třeba někdo tady bude trojka. Určitě už jste si všimli, že tady asi definiční oborem budou celá reálná čísla, ale to nás teď moc nezajímá, teď jsme si jenom uvedli tady dva příklady, a vidíme, že do oboru hodnot budou patřit čísla 8 a 10, 8 a 10. A jak vlastně funguje taková funkce? Funkce vlastně vezme vstup a tomu vstupu přiřadí nějaký výstup, vstup se zobrazí na nějaký výstup. V tomto případě nám funkce přiřadí k dvojce osmičku, tedy dvojka se nám zobrazí na osmičku. Tato funkce f nám k dvojce přiřadí osmičku. Obdobně nám tato funkce trojce přiřadí desítku. Trojka se nám zobrazí na desítku nějak takto. Co kdybychom ale chtěli jít opačným směrem. Co kdybychom chtěli vzít osmičku a dostat zpátky dvojku nebo vzít desítku a dostat zpátky trojku. Něčemu takovému bychom říkali inverzní funkce. Značí se to takto. F minus jedna a chtěli bychom tedy do té funkce vložit osmičku a ta funkce by nám měla dát na výstupu dvojku. Obdobně tady bychom chtěli dát té funkci desítku a ta funkce by nám měla té desítce na výstupu přiřadit číslo tři. Teď to vypadá možná trošku zvláštně, ale asi si nedokážete představit, jak něco takového vlastně je možné. Ale nebojte, není to vůbec těžké. Pojďme si toto téma rozpracovat trošku dál. Tady si můžeme představit u té funkce, že tady máme vlastně y se rovná f(x), tak jak to známe. My teď vlastně máme na vstupu x a na výstupu y. Pokud bychom to ale chtěli obrátit, tak bychom tedy chtěli na vstupu dát funkci to y a chtěli bychom dostat tu hodnotu x. Naopak. Jak bychom to udělali? Popišme si tady ten předpis funkce bokem. y se rovná dvě x plus čtyři a my chceme dostat předpis pro x. Takže není nic jednoduššího, než si vyjádřit x. Tady z této rovnice tak, že odečteme 4 dostaneme y minus 4 je rovno dvě x vydělíme dvěma a dostaneme y lomeno dvěma minus 2 je rovno x. Já to ještě opíšu tady trochu hezčím způsobem, takže x bude rovno jedna polovina y minus 2. Teď jsme si vyjádřili x z této rovnice, z tohoto předpisu té naší funkce f(x), takže jsme začali s tou původní a teď jsme si vyjádřili x, na vstupu dáváme y a na výstupu dostaneme x přesně naopak oproti té původní funkci. Takže toto je inverzní funkce. Je to vlastně inverzní funkce jako funkce y. Tady máme y jako funkci x. A tady by to bylo jako funkce y. Toto si ještě můžeme zapsat takto. Že to je ta inverzní funkce, jak už jsme řekli, je to tedy funkce y, jak jsem teď řekla. A ta je rovno jedna polovina y minus 2. Ještě provedeme takovou jednu malou úpravu. Tady máme proměnnou y, ale my tam vlastně můžeme dosadit jakoukoli jinou proměnnou, třeba a, b, c anebo také x. Takže si to můžeme přepsat takto. Za pomocí x, ať vás to nemáte. Pouze jsme si změnili název proměnné. Takže toto je funkce inverzní k funkci f(x), značíme takto. Jak už jsme si řekli, určitě jste si už všimli, že vlastně když my jdeme opačným směrem, tak se nám z oboru hodnot stal obor definiční a z definičního oboru se nám stal obor hodnot. Takto to funguje u inverzní funkcí. Pozor, pokud ovšem k dané funkci funkce inverzní existuje, což není vždycky pravda. Pojďme se ještě podívat, jak to bude vypadat v grafu, když si tyhle dvě funkce zaznačíme do grafu. Tady máme f(x), dvě x plus 4, průsečík s osou y je tedy v bodě 4, tady, a směrnici 2. Takže to bude strmě stoupat. Takže si to zhruba načrtneme takhle nadvakrát, ať je to co nejpřesnější, ať to vidíte hezky. Nějak takto. A teď tady máme tu naši inverzní funkci k té funkci f(x). A to je jedna polovina x minus 2 a tedy průsečík s osu y je v bodě minus 2 a směrnice jedna polovina, takže to bude nějak takto, opět črtám, nic super přesného. To bude ta naše inverzní funkce. Teď se na to podívejte. A schválně jestli vás něco napadne, je mezi těmi dvěma grafy funkcí nějaká souvislost? Souvisejí spolu nějakým způsobem? Pokud vás to ještě úplně netrklo, tak já tady načrtnu ještě jednu věc. Toto je přímka znázorňující y se rovná x, tedy přímka, která na poloviny dělí první a třetí kvadrant. A teď už to určitě vidíte, tyto dvě funkce, ta funkce a ta funkce k ní inverzní a její grafy jsou osově souměrné podle této přímky, podle přímky y se rovná x. Pojďme se ještě podívat, proč tomu tak vlastně je. Pojďme si vyzkoušet jestli nám sedí to, co jsme chtěli udělat. Že tato funkce má něco na vstupu a na výstupu a tato funkce to má přesně naopak. Jak to dopadne, když vyhodnotíme tu původní funkci v bodě nula. V bodě nula, to je ten průsečík s osou y. To bude 4. Takže my bychom teď vlastně chtěli, aby v bodě 4 ta inverzní funkce měla funkční hodnotu nula. Pojďme se podívat, jestli tomu opravdu tak je. V bodě 4, ano, vidíme, že to máme správně. Má opravdu inverzní funkce hodnotu 0, takže jsme počítali správně. Můžeme si to ještě dokreslit tady. Pro lepší představu v původní funkci jsme měli bod 0 a tady v oboru hodnot byla hodnota 4 a ta původní funkce vzala nulu a na výstupu jsme dostali čtyřku, takže z nuly do čtyřky. A ta nová funkce, ta funkce inverzní, vzala čtyřku a na výstupu jsme dostali nulu. To tady napíšu tímto přesně opačným způsobem. V dalších videích si ukážeme další příklady, jak to počítat, jak tomu lépe rozumět. Ale myslím si, že pro začátek by to dneska stačilo.