Intervaly, na kterých je funkce klesající, rostoucí, kladná, nebo záporná

Máme tady graf funkce, y se rovná f(x) a my bychom se dnes rádi podívali na to, kdy je tato funkce kladná, záporná, nebo kdy je rostoucí a klesající, na intervaly, ve kterých toto nastává, kdy bude funkce f(x) kladná. Co to vlastně znamená, když je funkce kladná? Funkce je kladná, když hodnota funkce v těch určitých bodech je vyšší než nula, logicky, a úplně jednoduše řečeno pokud máme graf, tak když se funkce nachází nad osou x, to je krásně vidět. To nastává právě tady, tady je funkce nad osou x a potom ještě tady je funkce nad osou x. My to vidíme graficky. Ale kdybychom to chtěli zapsat matematicky, tak budeme potřebovat nějaké body. Takže tady bude třeba bod A, tady bude bod B a tady bude bod C. Takže kdy je ta funkce f(x) kladná? Když je x mezi body A a B nebo když je x vyšší než C? Takže, v případě že A je menší než x a to je menší než B, nebo druhý případ: x je větší než C. Dávejte si pozor, že tady není menší nebo rovno, že ty krajní body my tam nezahrnujeme, protože v bodech A, B a C je hodnota funkce nulová, není nad osou x ani pod osou x, takže tam nepatří do toho intervalu. Obdobně, kdy je funkce f(x) záporná? Tak to je přesně naopak, když hodnota funkce v těch bodech je nižší než 0. Jednoduše řečeno, když se ta funkce nachází pod osou x a to vidíme tady a potom tady, snad to je trošku vidět, takže to tedy bude nastávat, že x bude menší než A, nebo bude mezi B a C. Takže B je menší než x. To je menší než C, opět nezahrnujeme krajní body. V těch je hodnota funkce nulová. Kladnou a zápornou část jsme si vyřešili a teď bychom se rádi podívali na interval, kde je funkce rostoucí nebo klesající. Pojďme si jenom tak jednoduše říct, kdy je funkce rostoucí. Funkce je rostoucí, to vidíme třeba tady, když nám roste hodnota x a zároveň nám roste hodnota y nebo také můžeme říct, že máme kladný poměr změny hodnoty y v závislosti na x. Anebo taky kdybychom vzali kterýkoli z těch bodů toho intervalu, kde ta funkce roste a udělali k němu tečnu, třeba tady tomuhle bodu, udělali tečnu, tak ta tečna bude mít kladnou směrnicí. Já myslím, že to k vysvětlení stačilo, takže kdy je funkce f(x) rostoucí? Vidíme, že to nastává tady, v tom grafu je to vždycky hezky vidět,tady někde zhruba do půlky toho kopečku, kde ta funkce zase začíná klesat. A potom tady na konci nám ta funkce krásně roste. Už mi ty barvičky začínají trošku splývat. A tak vidíme, že budeme potřebovat ještě další body, abychom to mohli zapsat matematicky, takže tady bude D. A tady někde uprostřed toho kopečku funkce bude bod E. Takže funkce je tedy rostoucí, když x je menší než D nebo x je větší než E, opět nezahrnuji krajní body, protože v bodě D a v bodě E, kdybychom měli tečnu k tomu bodu, tak ta tečna bude takto konstantní. Takže v tomto bodě a v tomto bodě funkce ani neroste ani neklesá. Teď už nám zbývá jenom ta otázka, kdy je funkce f(x) klesající. To už určitě zvládnete sami. To je přesně tento zbývající úsek. Tady zhruba a tedy to nastává když je x mezi D a E. Takže D je menší než x, to je menší než E. Opět ze stejného důvodu, jak už jsem řekla, nezahrnuji krajní body. Ještě jednou si tady ukážeme, jak to vypadá, když funkce klesá. Máme hodnotu x, která se nám zvyšuje, ale hodnota y se nám snižuje. Opět x nám jde do plusu a Y nám jde do mínusu. Tady je to krásně vidět. Takže takto vypadá, když je funkce klesající. Se zvyšující se hodnotou x se hodnota y snižuje. Probrali jsme si intervaly, kdy je funkce kladná, záporná a pak rostoucí, nebo klesající. Dávejte si pozor, že tyto pojmy nejsou zaměnitelné. Kladná neznamená rostoucí a záporná neznamená klesající, ač by se to tak podle toho názvu mohlo zdát. Takže je důležité si na to dávat pozor. A já myslím že vy už to teď určitě zvládnete.