Definiční obor funkce: slovní úloha o žebříku

Marek stojí na páté příčce žebříku. Žebřík má 15 příček a vzdálenost mezi jednotlivými příčkami je půl metru. Marek může po žebříku vylézt nahoru, dolů nebo může zůstat stát na místě. Nechť h(n) je výška h v metrech, v jaké Marek stojí potom, co se pohnul o n příček. Pokud Marek poleze dolů, n bude záporné. A tady se nás ptají, který číselný obor se lépe hodí pro definiční obor funkce, zda celá nebo reálná čísla, a poté máme určit interval definičního oboru. Pojďme si představit, co se nám vlastně tady děje. Marek stojí na žebříku. Pojďme se podívat, jak takový žebřík vlastně vypadá. Tady je žebřík. Tady je nějaká země a ten žebřík má podle zadání 15 příček. Tak, bude to velice zhruba, ať tady nejsme věčnost. Takže žebřík má patnáct příček a když se podíváte do zadání, mezitím co já budu malovat, tak vidíme, že Marek stojí na páté příčce a může se pohybovat nahoru, dolů anebo může zůstat stát na místě. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Výborně. Marek stojí na páté příčce. To už jsme si teď zopakovali ze zadání. Tedy Marek stojí tady, vzdálenost mezi jednotlivými příčkami je půl metru, takže toto, vzdálenost mezi jednou a druhou příčkou, je půl metru. A potom tady máme funkci h(n), která nám dá na výstupu výšku h v metrech, v jaké Marek stojí po tom, co se pohnul o nějaký počet příček, o n příček, přičemž když poleze dolů, tak n bude záporné. Směrem nahoru bude n kladné. Takže si představme, jak by to vypadalo, kdybychom chtěli spočítat třeba h v bodě nula. Kolik by bylo h v bodě nula a co to vlastně znamená. h v bodě nula by byla výška Marka na žebříku po tom, co se vlastně nepohnul. Pohnul se o nula příček, tedy stojí stále na místě. Tady na páté příčce. Stojí na páté příčce, takže je vlastně pět příček od země a tedy pět krát nula celá pět metrů. Takže to je pět krát nula celá pět desetin metrů, což nám dá dva a půl metru. Kdybychom chtěli h v bodě jedna, co by to znamenalo? Znamenalo by to, že to je výška Marka po tom, co se pohnul o jednu příčku nahoru, skončil by tedy tady, tudíž bychom akorát přidali půl metru a viděli bychom, že je ve výšce tři metry. Toto ale teď není důležité. To po nás v zadání nechtějí, po nás chtějí, abychom zjistili, který číselný obor se lépe hodí pro definiční obor funkce. Zopakujeme si krátce, co je to definiční obor. Definiční obor obsahuje hodnoty, pro které je daná funkce definovaná. Tedy hodnoty, které když dáme funkci na vstupu, tak dostaneme nějaké definované výstupy. Definiční obor, my té funkci dáváme n, což je počet příček, o které se Marek pohne. Takže určitě se Marek může pohnout třeba o tři příčky nahoru, o dvě příčky dolů, o osm příček nahoru. Ale asi se těžko může pohnout třeba o nula celá šest desetin příčky, protože to by mu ta noha zůstala viset někde ve vzduchu a chudák Marek by nám asi spadnul. Taky se nemůže pohnout o pí příček nebo o 0 celá 99 setin příčky, prostě se vždycky může pohnout jenom o celý počet příček, aby měl kam dát tu nohu. Takže vidíme, že reálná čísla by nám tady byla opravdu k ničemu a tedy vhodnější číselný obor pro definiční obor funkce, jsou rozhodně celá čísla. A teď už nám zbývá určit interval toho definičního oboru. Víme, že Marek stojí na páté příčce a žebřík má těch příček 15. Když bychom chtěli jít dolů, tak dolů po žebříku může Marek raz, dva, tři, čtyři, pět příček, protože stojí na páté, tedy se může pohnout o minus pět příček. Takže spodní hranice intervalu je minus pět, patří tam ta spodní hranice do toho intervalu? Určitě patří. Nikde není napsáno, že Marek nemůže slézt až na zem. Takže lomená závorka. A jaká je horní hranice toho intervalu? Z páté příčky může Marek vylézt až nahoru o jedna, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, což sedí, stojí na páté, že jich má 15, tedy až o 10 nahoru, horní hranice je tedy 10. Opět tam patří, protože nikdo neřekl, že Marek nemůže vylézt až nahoru, že by příčka byla zlomená nebo něco takového. Takže interval definiční oboru je od minus pěti do deseti včetně obou dvou hranic intervalu.