Úvod do exponenciálních funkcí

Dnes bych se s vámi ráda podívala na exponenciální funkce a hlavně na to, jak rychle takové funkce rostou. Pojďme si uvést nějaký příklad tady hned ze začátku, třeba y se rovná 3 na x-tou. Takže není to x na třetí, ale tentokrát je to 3 na x-tou, naše nezávislá proměnná x je tady exponentem. Tak si pojďme nakreslit tabulku, zapsat si tam nějaké hodnoty a potom si to zakreslit do grafu. Klasická tabulka. Začneme s nějakými zápornými hodnotami, třeba minus čtyři, minus tři, minus dva, minus jedna a potom třeba 0, 1, 2, 3 a 4. Jaké budou hodnoty y? Minus 4. Když x je -4, tak výsledkem bude 3 na minus čtvrtou, což je to stejné jako jedna děleno 3 na čtvrtou, což je 3 na čtvrtou, 3 krát 3 je 9, krát 3 je 27, krát 3 je osmdesát jedna. Takže to je jedna jednaosmdesátina. Když je x minus 3, tak to bude 3 na minus třetí, což je zase to stejné jako jedna děleno 3 na třetí. Takže tři na třetí je tři krát 3 je 9, krát 3 je 27, takže jedna sedmadvacetina. Když je x minus 2, y bude 3 na minus druhou, tedy jedna lomeno 3 na druhou, tedy píšu rovnou jedna devítina. Když je x minus jedna, tak je to tři na minus prvou, tedy jedna děleno 3 na prvou, tedy jedna třetina. Když je x nula, tři na nultou, cokoli na nultou je jedna. X je jedna. Tři na prvou je 3, tři na druhou je 9. Tři na třetí je 27. A konečně tři na čtvrtou je 81. Kdybychom měli třeba ještě pětku, tak tři na pátou je 243 dokonce. Takže vidíme, že tady jsme měli nějaká malinká čísla, a tady to najednou takhle prudce začalo růst. Tak si to pojďme ještě zaznačit do grafu, kde to bude vidět ještě lépe. Máme tady nakreslenou osu x a y takto, protože víme, že když máme kladný základ, tak budou všechny výsledky této exponenciální funkce kladné. Takže, máme tady až číslo osmdesát jedna, tak si to načrtneme po desítkách u y. 30, 40, 50, 60, 70, 80. Tady je 80, 60, 40, 20. Takhle stačí. U x si to můžeme trošku roztáhnout, ať to nemáme moc namačkané. Takže tady bude jedna, 2, 3 a 4, minus jedna, minus dva, minus tři, minus čtyři, ať to hezky vidíme v tom grafu. Výborně. Začneme prvně s těmi kladnými hodnotami, to se nám bude lépe zaznačovat. Takže když x je 0, y je jedna. Tady je 5, takže ta jednička je někde prostě tady u nuly, jednoduše. Když x je jedna, y je 3, tak to už máme někde tady. Když x je 2, y je 9, to je tady těsně pod desítkou. Když x je tři, y je najednou 27. To je někde tady. A když x je 4, tak y nám vyletělo na osmdesát jedna. Teď ať to trefím. Tady, osmdesát jedna. Někde tady zhruba hned nad tou osmdesátkou. Když bychom šli tady do záporných x-ových hodnot, tak vidíme, že se pořád držíme někde u nuly. My tu nulu tak těsně lížeme, ale nikdy se k té nule nedostaneme. Já to tu ani nemůžu zakreslit, ty zlomky. Jedna třetina, jedna sedmadvacetina, jedna jednaosmdesátina. To je prostě kousek od nuly. A čím bychom šli do nižších záporných čísel až k minus nekonečnu, tím blíž by to k té nule bylo. Ale nikdy by to k té nule nedošlo, ani v tom minus nekonečnu. Takže v těch záporných hodnotách se tady pořád tak těsně pohybujeme kolem té nuly, ani to takhle neumím nakreslit, až dojdeme tady do nuly. A v těch kladných x-ových hodnotách nám naopak ta funkce naprosto neskutečně rychle exploduje do šílených výšin, já se to tady pokusím nějak hezky nakreslit. A jak už jsme si řekli, kdyby x bylo 5, tak y je 243. Takže už v tomto bodě bychom byli někde daleko, daleko, mimo tu naši obrazovku. Takže vidíte, jak prudce to tady začíná růst, neskutečně rychle nám to roste. Samozřejmě můžou být ještě i rychlejší funkce než toto. Třeba kdybychom měli x na x-tou, to by rostlo ještě rychleji. Ale tohle jsou obecně jedny z nejrychleji rostoucích funkcí. Abychom si to ještě ukázali na nějakém příkladu, tak se ještě kousek posuneme. Takže si zkusíme takový příklad, který nám ukáže, jak vysoká ta rychlost vlastně může být. Řekněme, že někdo, nějaký nadšenec, poslal řetězový email. Takové ty velmi oblíbené. Deseti lidem, těm kamarádům, nebo možná těm, které nemá rád. Těžko říct. A samozřejmě, jelikož je to řetězový email, tak v něm bylo napsáno, že ti lidé to mají poslat každý dalším deseti lidem, protože když to neudělají, tak jim vypadají vlasy, přejede je auto, už nikdy v životě nebudou šťastní. Nevím, dosaďte si tam, co chcete. Tito lidé, pojďme žít v nějakém ideálním nebo neideálním světě, kdy všech těch 10 lidí si teda řekne: "dobře, tak já to teda pošlu", a opravdu to pošle dalším deseti lidem a ten email se má poslat do týdne. Takže. V prvním týdnu, týden 1, to tedy jeden člověk poslal těm deseti lidem. Co ten druhý týden? My jsme řekli, že tedy všech těch 10 lidí se rozhodlo svorně, ať už ze strachu, nebo teda z nějaké solidarity, to poslat dalším deseti lidem. Takže to bude 10 krát 10 emailů. Píšeme si tady ještě poslané. Takže v prvním týdnu bylo poslaných deset emailů, v druhém týdnu už deset krát deset, takže sto. Už to dorazilo ke 100 lidem. Pokud si myslíme, že nikdo ten mail neobdržel dvakrát. Jak by to vypadalo ve třetím týdnu potom? Týden 3, to by se všech těch 100 lidí rozhodlo a každý by poslal těch 10 emailů, takže už by ten email dorazil 1000-krát. A jak bychom to vlastně mohli zobecnit? Kolik emailů by bylo poslaných v n-tém týdnu? Takže když se na to podíváme, tak zjistíme, že by bylo poslaných 10 na n-tou emailů. Kdybychom třeba chtěli vědět, kolik emailů bylo poslaných po šesti týdnech, tak by to bylo deset na šestou, jednička a 6 nul, tedy rovný milion emailů. A to jenom po šesti týdnech, po poslaných pouhých deseti emailech. Samozřejmě v reálu by většina těch lidí ten email hodila do koše a dál už by je to nezajímalo. Ale my jsme si řekli, že žijeme v nějaké ideální situaci. Takže šestý týden už by bylo poslaných milion emailů. V devátém týdnu by to bylo ještě o tři nuly víc, tudíž miliarda emailů. No a další týden to už by nám došli lidé.