If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Slovní úlohy s exponenciálními výrazy (s čísly)

Uvedeme si situaci v reálném světě a rozebreme si výpočet peněz na účtu po 15 letech úročení. Zopakujeme si, že výraz je exponenciální, protože zahrnuje opakované násobení stejnou hodnotou.

Transkript

Na spořicí účet jste si uložili 55 tisíc korun. Banka vám na peníze uložené na účtu poskytuje roční úrok 1,8 procenta. Množství peněz na účtu se tedy každý rok zvýší o 1,8 %. Napište výraz vyjadřující, kolik budete mít na účtu peněz za 15 let. Pojďme si to jenom zrekapitulovat. Vy jste si uložili 55 000 korun. Ta banka vám dává na ně roční úrok 1,8 procenta, což vlastně ve své podstatě znamená, že to množství se nám každý rok zvýší o 1,8 %. To je to, co znamená ten výraz roční úrok. A my máme najít výraz, který nám vyjadřuje, kolik budeme mít na účtu peněz za patnáct let. Víme, že na začátku máme 55 tisíc korun, tak si to pojďme zapsat. Nějaké počáteční množství na tom začátku. Začátek. Můžeme tomu také říkat rok nula, protože my hledáme pak to množství po těch patnácti letech, takže je rok nula. To bude těch padesát pět tisíc, co jsme zatím vložili. Nic se s nimi nestalo. Jak to bude vypadat s našimi penězi po jednom roce. Rok jedna. Jak to bude vypadat? Budeme mít těch padesát pět tisíc korun, ty nám tam zůstanou, plus nějaký ten úrok, o toho jedna celá osm desetin procenta navíc, takže to bude plus jedna celá osm procenta z té částky. Takže jedna celá osm procenta krát padesát pět tisíc. Tohle to určitě můžeme zapsat i jako desetinné číslo, takže to můžeme napsat jako padesát pět tisíc plus a jenom prohodím to pořadí násobení, plus 55 tisíc krát a teď desetinné číslo, jedna celá osm procent, to je vlastně jedna celá osm setin, takže to bude žádná celá nula jedna osm, tedy 18 tisícin, jedna celá osm setin je 18 tisícin, takže tady máme tu původní částku a tady máme to o kolik se nám za ten jeden rok zvýší. A my vidíme, že z obou dvou těch členů můžeme vytknout těch 55 tisíc, tak to hned udělejme. 55 tisíc krát, tady máme vlastně jedničku, plus a tady je těch 18 tisícin. V závorce to můžeme hned sečíst a dostaneme 55 tisíc krát jedna 1 celá 18 tisícin. To je tedy množství, které budeme mít po jednom roce. Tak toto číslo vlastně znamená to, že budeme mít celou tu částku, kterou jsme tam vložili, kterou tam máme, jednička, plus ten nárůst o ten roční úrok, o toho jedna celá osm desetin procenta, to je ta druhá část. Dohromady je to jedna celá 18 tisícin. To ještě není náš výsledek, ale to je to, kolik budeme mít po jednom roce. Jak to bude vypadat v roce 2? Rok dva, takže po dvou letech. Jak to bude vypadat? Budeme začínat s částkou, kterou jsme měli po jednom roce, padesát pět tisíc, které jsme vynásobili tím jedna celá 18 tisícin. To je částka z roku jedna a tu zase vynásobíme nějakou hodnotou, zase přidáme úrok jedna celá 8 procenta. Takže to zase vynásobíme touto hodnotou, krát jedna celá 18 tisícin a vy už určitě víte, že to můžeme přepsat takto, 55 tisíc krát jedna celá 18 tisícin na druhou. Teď už se dostáváme k tomu, k čemu se chceme dostat. My vidíme, že po jednom roce je to 55 tisíc krát jedna celá 18 tisícin v podstatě na prvou, po dvou letech je to 50 tisíc krát jedna celá 18 tisícin na druhou, vynásobili jsme to dvakrát tu původní hodnotu tím jedna celá 18 tisícin. Takže teď už určitě víte, kolik to bude po těch patnácti letech. Takže rok 15. Ta naše kýžená hodnota, ke které se chceme dostat. Po 15 letech budeme mít na účtu tu původní hodnotu 55 tisíc krát jedna celá 18 tisícin na patnáctou, poněvadž každý rok tu sumu vynásobíme jedna celá 18 tisícin. A to tedy za 15 let provedeme patnáctkrát. Takže se nám to projeví v tom exponentu. Je to vlastně exponenciální růst, takže tohle to je to, k čemu jsme se chtěli dostat. Možná vám to přijde, že to je vlastně málo a že za těch 15 let tam budeme mít v podstatě to samé. Ale pozor, když si to spočítáte, uvidíte, že ten přírůstek je docela rozumný.