Slovní úlohy s exponenciálními výrazy (s proměnnou)

V rezervaci je 170 jelenů. Populace jelenů každý rok naroste o 30 procent. Napište funkci, která vyjadřuje populaci jelenů P(t) po t letech. Video si zastavte a zkuste se nad tím zamyslet sami. Máme tady sto sedmdesát jelenů na začátku a každý rok tu jejich množství, počet jelenů, se zvýší o 30 procent. My to máme vyjádřit nějak obecně jako P(t), což je populace jelenů po t letech. Kolik by bylo t(0). T(0) je populace jelenů po 0 letech, tedy nějaký ten počáteční stav. A to my víme ze zadání, že je sto sedmdesát kusů jelenů. Jak by to vypadalo po jednom roce? Kolik by bylo P(1)? P v bodě 1? Bylo by to to počáteční množství jelenů, tedy sto sedmdesát, a ještě třiceti procentní přírůstek, takže plus třicet procent, krát těch sto sedmdesát, takže to bude těch třicet procent z těch sto sedmdesáti, těch 30 procent my můžeme zapsat jako desetinné číslo, to umíme, takže to bude sto sedmdesát plus žádná celá tři desetiny, tedy 30 procent, nebo taky 30 setin, krát sto sedmdesát. Teď vidíme, že v obou členech máme sto sedmdesát, takže tu můžeme vytknout sto sedmdesát krát, tady tedy bude jedna plus ty tři desetiny v závorce, to můžeme sečíst a dostaneme tedy sto sedmdesát krát jedna celá tři desetiny, to je tedy množství po jednom roce. A u toho se na chvilku zastavíme. To je hodně důležité si uvědomit, co jsme tady vlastně udělali. S tím se budeme setkávat pořád u těch exponenciálních funkcí. Máme-li tady růst o třicet procent, tak to vlastně znamená, že vždycky budeme mít celou tu původní hodnotu, to je těch 170 krát jedna, to je ta celá původní hodnota, a k tomu přičítáme těch třicet procent, ty tři desetiny té původní hodnoty. Takže proto je to sto sedmdesát krát jedna celá tři, třicetiprocentní nárůst tedy vyjadřujeme tak, že tam ponecháme celou tu původní hodnotu a ještě těch třicet procent původní hodnoty, tedy tři desetiny. Jak by to vypadalo po dvou letech, P v bodě 2. Po 2 letech, kolik bychom tam tedy měli těch jelenů. Určitě bychom tam měli tu hodnotu po jednom roce, těch sto sedmdesát krát jedna celá tři a oni by nám zase ještě narostli o třicet procent, ještě by se dále rozmnožovali, takže bychom zase museli přičíst třicet procent té hodnoty, této tentokrát, takže bychom to zase celé vynásobili tím jedna celá tři, takže tuto hodnotu, tu v uvozovkách, počáteční, tu počáteční hodnotu po tom jednom roce, bychom zase vynásobili tím jedna celá tři a tohle můžeme převést na sto sedmdesát krát jedna celá tři desetiny na druhou. A vám už asi dochází, jak ta obecná funkce bude vypadat, protože tady máme vlastně jedna celá tři na první, jedna celá tři na druhou, takže ten exponent nám vlastně vyjadřuje, v kterém tom roce my se nacházíme. Takže P(t) obecně, tedy populace jelenů po nějakých t letech bude 170, což je ta počáteční hodnota, počáteční množství těch jelenů, krát jedna celá tři, což vyjadřuje ten třicetiprocentní nárůst každý rok a to jedna celá tři umocníme na t. Pokud to bude po deseti letech tak vlastně tu hodnotu každý rok vynásobíme jedna celá tři, tedy 10 krát zvýšíme o 30 procent. Když to bude po padesáti letech, bude tady jedna celá tři desetiny na padesátou, poněvadž 50 krát my tam provedeme ten nárůst o 30 procent, takže toto je náš konečný výsledek.