Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0

V tomto videu si spočítáme, čemu je rovna limita pro x blížící se k 0 z (1 minus cos(x)) lomeno x. A budeme předpokládat, že jednu věc už víme. Předpokládejme, že víme, že limita pro x blížící se k 0 ze sin(x) lomeno x je rovna 1. Já to tady nebudu opět dokazovat, protože máme jedno celé video věnované důkazu této známé limity. Důkaz se provádí pomocí věty o dvou policajtech. Tak se na to podívejme. Nejprve si algebraicky upravíme výraz v limitě. Udělám to tak, že čitatele i jmenovatele vynásobím výrazem (1 plus cos(x)). Ve jmenovateli musím udělat totéž. 1 plus cos(x). Tím nijak nezměním hodnotu výrazu. Pouze jsem vlastně násobil jedničkou. Ale jak nám to pomůže? Celé to nyní mohu přepsat jako limita pro x blížící se k 0... Tedy (1 minus cos(x)) krát (1 plus cos(x)) je rovno... To je rovno 1 na druhou, což je opět 1, minus cos(x) na druhou. Je to rozdíl druhých mocnin. A ve jmenovateli budeme mít tohle, což je jen x krát (1 plus cos(x)). Čemu se rovná 1 minus cos(x) umocněný na druhou? Toto můžeme upravit díky goniometrické jedničce. Rovná se to sin(x) na druhou. Celý tento výraz tak mohu přepsat jako limita pro x blížící se k 0... A tohle si nyní přepišme. Namísto sin(x) na druhou napišme sin(x) krát sin(x). A já nyní vezmu první sin(x), vezmu tenhle sin(x) a vydělím ho tímto x, tedy sin(x) lomeno x krát (druhý sin(x) lomeno 1 plus cos(x)). Krát sin(x) lomeno 1 plus cos(x). Použil jsem jen goniometrickou jedničku a algebraické úpravy. Limita součinu těchto dvou výrazů bude rovna součinu limit. Tohle si tedy můžu přepsat jako: limita pro x blížící se k 0 ze sin(x) lomeno x krát limita pro x blížící se k 0 ze sin(x) lomeno 1 plus cos(x). Na začátku videa jsme se dohodli, že můžeme předpokládat, že tuto limitu známe. V jiném videu už jsme si dokázali, čemu se rovná limita pro x blížící se k 0 ze sin(x) lomeno x. Tato limita se rovná 1. Takže původní limita je závislá pouze na tom, čemu se rovná tato limita. A ta je poměrně jednoduchá. Když se x blíží k 0, čitatel jde k 0, protože sin(0) je 0 a jmenovatel se blíží… Cos(0) je 1, takže jmenovatel se blíží ke 2. Tohle se tedy blíží k 0 lomeno 2 neboli k 0. Tohle je rovno 0. 1 krát 0 se jednoduše rovná 0. A máme hotovo. Díky tomuto faktu, goniometrickým vzorcům a algebraickým úpravám jsme ukázali, že původní limita pro x blížící se k 0 z (1 minus cos(x)) lomeno x je rovna 0. Doporučuji vám udělat si graf. Uvidíte, že graficky vám to také bude dávat smysl.