Určování jednostranných limit z tabulek funkčních hodnot

Funkce f je definovaná na reálných číslech. V následující tabulce jsou vybrané hodnoty funkce f. Tady je naše tabulka. Pro tyto hodnoty x nám říká, jaká je funkční hodnota. Jaký je rozumný odhad pro hodnotu limity f(x) pro x blížící se k 1 zleva? Zastavte si video a zkuste si to zjistit samostatně. A teď se na to podívejme společně. První, co je důležité si uvědomit, je to, že když se x blíží k něčemu a vidíme tento symbol minus, tak to neznamená, že jde o −1. Nejde o −1. Někdy váš mozek vidí 1 a znaménko minus a řekne si: „To musí být jen divný zápis pro −1." Ani o tom nepřemýšlíte. Ale není to tak. Říká nám to, že jde o limitu z funkce f(x) pro x blížící se k 1 zleva. Zleva. Zleva, ale jak to víme? To nám říká toto malé minus. Říká nám to, že se blížíme k 1 po hodnotách menších než 1. Kdybychom se k 1 blížili zprava, tedy po hodnotách větších než 1, bylo by zde znaménko plus. Tak se nad tím zamysleme. Chceme určit limitu pro x blížící se k 1 zleva. Naštěstí pro nás jsou v tabulce nějaké hodnoty x, které se k 1 blíží zleva. 0,9, což už je dosti blízko k 1, a pak se dostáváme ještě blíže k 1 zleva. Všimněte si, že tato čísla jsou všechna menší než 1 a jsou čím dál tím blíž k 1. A co my chceme vědět je to, čemu se blíží hodnoty f, když se x čím dál tím víc blíží k 1 zleva. Zleva. Klíčové je uvědomit si, že když máme oboustranné limity, a ne jen ty z jedné strany, tak nás budou zajímat hodnoty zleva i zprava. Ale v zadání je jen limita zleva, takže by nás měly zajímat jen tyto hodnoty. A neměli bychom se nechat zmást hodnotou funkce f v bodě 1. Někdy, a je to poměrně často, se limita rovná něčemu jinému než funkční hodnotě v daném bodě. Tak se na to podívejme. f v bodě 0,9 je 2,5, když jsme ještě blíže k 1 zleva, dostaneme 2,1. Když jsme ještě blíže k 1 zleva, hodnota funkce je ještě blíž ke 2. Takže rozumný odhad hodnoty limity pro x blížící se k 1 zleva z funkce f(x)… Vypadá to, že hodnoty f(x) se blíží ke 2. Nevíme to ale jistě, proto se nás ptají na rozumný odhad. Limita může být rovna 2,01 nebo také třeba 1,999. Na webu Khan Academy toto často budou uzavřené otázky, ve kterých vybíráte z několika možností. Nebylo by ale zrovna férové, kdyby 1,999 a 2,01 byly nabízené možnosti. Ale kdybyste si řekli, že tohle se bude asi rovnat celému číslu, tak by 2 byl rozumný odhad. I když to 2 být nemusí, může to být 2,01258, tomu se může limita ve skutečnosti rovnat. Zkusme si udělat další příklad. V tomto případě se ukázalo, že existuje rozumný odhad pro limitu zleva. Nyní zde máme, že funkce f je definovaná na reálných číslech a v tabulce jsou vybrané hodnoty funkce f, podobně jako v předchozí úloze. Jaký je rozumný odhad pro limitu pro x blížící se k −2 zleva? Tohle je trochu matoucí, protože máme dvě znaménka minus. První znaménko minus nám říká, že se blížíme k −2. Chceme vědět, co se děje, když se blížíme k −2. A budeme se znovu blížit zleva. Naštěstí pro nás jsou v tabulce hodnoty x, které se k −2 blíží zleva. Takže zde se x blíží k −2 zleva. To se děje tady. Jde o tyto hodnoty. Všimněte si, tohle je −2,05, potom se dostáváme ještě blíž, a to −2,01, poté jsme ještě blíž, a to −2,002. A blížíme se zleva, protože jde o hodnoty menší než −2, které jsou čím dál tím blíž k −2. Když jsme trochu dál, funkční hodnota je −20. Když jsme trochu blíž, je to −100. Když jsme ještě blíž, je to −500. Takže by bylo rozumné říci, i když to nevíme jistě, protože máme jen vybrané hodnoty naší funkce, ale kdybychom takto pokračovali, kdybychom šli čím dál tím blíž k −2, aniž bychom došli do bodu samotného, tak to vypadá, že hodnoty jsou neomezené, že jsou nekonečně záporné. Takže to vypadá a já to sem napíšu, že tyto hodnoty jsou neomezené. Kdyby tohle byla uzavřená otázka, tak by se technicky vzato muselo říci, že limita pro x blížící se k −2 zleva neexistuje. Kdyby se někdo zeptal na jinou otázku, třeba čemu se rovná limita f(x) pro x blížící se k −2 zprava, tak pak bychom si řekli: „Dobře, tyto hodnoty se k −2 blíží zprava.", zde se x blíží k −2 zprava a nezapomeňte, že když vás zajímá limita, může být někdy rozptylující dívat se na funkční hodnotu v daném bodě. Chceme vědět, čemu se blíží funkční hodnoty, když se x blíží k danému bodu, v našem případě to je, když se blíží k −2 zprava. Takže když se čím dál tím víc blížíme k −2 po hodnotách větších než −2, funkční hodnoty se blíží k −4, což se rovná f v bodě −2. A to vypadá jako rozumný odhad. Opět to nevíme jistě, protože známe jen pár hodnot, ale tohle by byl rozumný odhad. Obecně platí, že když se blížíte k různým hodnotám, když jdete zleva a zprava, tak je rozumné říci, že v tom bodě limita neexistuje. To už jsme viděli i v jiných videích.