If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Použití tabulky funkčních hodnot k odhadu limity

Tabulky funkčních hodnot mohou být účinným nástrojem pro přibližný odhad limity, ale je třeba je používat s rozumem. Nauč se, jak tabulky hodnot vytvořit tak, abys z nich dostal dobrý odhad limity, a jak hodnotu limity pomocí takových tabulek přibližně odhadnout.
Pomocí limit můžeme vyvozovat závěry o chování funkce. Díky tabulkám funkčních hodnot pak můžeme něco usuzovat o limitách. Na tabulkách funkčních hodnot je hezké to, že díky nim získáme přesnější odhad hodnoty limity, než z pouhého pohledu na graf funkce.
Když pro určení přibližné hodnoty limity používáš tabulku funkčních hodnot, je důležité ji vytvořit takovým způsobem, aby napodobovala to, že se k dané hodnotě x přibližujeme "nekonečně blízko".

Příklad

Představ si, že máme určit přibližnou hodnotu této limity:
limx2x2x24
Poznámka: Tato funkce není v bodě x=2 definovaná, protože její jmenovatel by byl nula. Limita pro x blížící se ke 2 přesto existuje.
Krok 1: Rádi bychom vybrali nějaké číslo, které je o trochu menší než x=2 (tedy číslo, které je na ose x "nalevo" od 2), takže začneme třeba s x=1,9.
x1,92
f(x)0,2564nedefinováno
Krok 2: Vyzkoušíme několik dalších hodnot x, kterými se budeme snažit napodobovat přibližování se k bodu x=2 zleva.
x1,91,991,99992
f(x)0,25640,25060,25001nedefinováno
Všimni si, jak se postupně čísly {1,9,1,99,1,9999} opravdu přibližujeme k x=2. Poněkud horší volbou pro x by bylo přibližovat se stále stejným krokem, např. čísla {1,0,1}, což není moc užitečné, když se k x=2 chceme dostat nekonečně blízko.
Krok 3: K x=2 se budeme blížit zprava tak, jako jsme to předtím udělali zleva. Chceme vybírat taková čísla, abychom napodobovali přibližování se k x=2 nekonečně blízko.
x1,91,991,99992,00012,012,1
f(x)0,25640,25060,250010,249990,24940,2439
(Poznámka: Z tabulky jsme odstranili bod x=2, abychom ušetřili místo a také kvůli tomu, že pro určení hodnoty limity není nutné znát samotnou funkční hodnotu v tomto bodě.)
Když se nyní podíváme na tabulku, máme pádný důvod říci, že hodnota limity je 0,25. Ale musíme si uvědomit, že známe pouze dobrou přibližnou hodnotu. Nemůžeme s jistotou říci, že jde o skutečnou hodnotu zadané limity.
Příklad 1
Třem studentům byla zadána funkce f a jejich úkolem bylo odhadnout limx2f(x). Každý student si pro tento účel vytvořil tabulku funkčních hodnot, které jsou uvedené níže.
Všechny tabulky jsou přesné, ale která se nejlépe hodí k určení přibližné hodnoty zadané limity?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů k procvičení? Zkus toto cvičení.

Běžné chyby při vytváření tabulek funkčních hodnot pro odhad limity

Zde je několik věcí, na které je třeba si dávat pozor, až budeš pro určování přibližné hodnoty limity vytvářet vlastní tabulky funkčních hodnot:
Funkční hodnota nemusí být rovna hodnotě limity: Dřívější příklad byl skvělou ukázkou toho, že i když funkce není v daném bodě ani definovaná, její limita přesto existuje. Vyvaruj se dělání předčasných závěrů o limitě jen na základě funkční hodnoty v daném bodě.
Nedostáváš se nekonečně blízko: Dostávat se nekonečně blízko znamená, že se k danému bodu x snažíme dostat natolik blízko, že už mezi tímto bodem a bodem, v němž se nacházíme my, není téměř žádné místo (např. na číselné ose) — tak blízko, že už jsme přesvědčeni, že náš momentální odhad je s velkou pravděpodobností skutečná hodnota limity.
Vyhni se rovnoměrnému přibližování se ve stále stejných krocích jako {1,0,1} nebo i {1,91,1,92,1,93}, protože takto se nedostaneš nekonečně blízko, ale jen docela blízko. Abychom se dostali nekonečně blízko, chceme se blížit ve stále menších krocích jako např. {1,9,1,99,1,999}, protože tak budeme stále zmenšovat prostor mezi bodem, ve kterém se nacházíme, a bodem, k němuž se chceme přiblížit.
Neblížíš se z obou stran: Nezapomeň, že k danému bodu x se musíš blížit zleva i zprava. Limita totiž existuje jen tehdy, když se limity zleva a zprava rovnají. Dej si pozor na dělání předčasných závěrů o limitě poté, co se k dané hodnotě x přiblížíš jen z jedné strany.
"Blížit se zleva" neznamená "používat jen záporná čísla": Někteří studenti se mylně domnívají, že při přibližování se zleva musí používat jen záporná čísla. Ve výše uvedeném příkladu jsme se k bodu x=2 zleva blížili pomocí kladných čísel, která byla o trochu menší než 2, např. 1,9 a 1,99. Při přibližování se zleva k dané hodnotě x nemusíš používat jenom záporná čísla.
Příklad 2
Funkce g je definovaná na všech reálných číslech. V následující tabulce jsou znázorněny vybrané funkční hodnoty g.
xg(x)
43,37
4,93,5
4,993,66
4,9993,68
56,37
5,0013,68
5,013,7
5,13,84
63,97
Která z následujících možností je nejlepším odhadem limx5g(x) ?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Běžné chyby při odhadování limit z tabulek funkčních hodnot

Funkční hodnota nemusí být rovna hodnotě limity: Pamatuj si, že limita funkce v nějakém bodě nemusí být nutně rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Například v příkladu 2 platilo g(5)=6,37, ale limx5g(x) byla přibližně 3,68.
Hodnota limity nemusí vždy být celé číslo: Některé limity vyjdou "hezky" jako celá čísla nebo jednoduché zlomky. Například limita v prvním příkladu v tomto článku byla přibližně 0,25. Jiné limity už tak hezké nejsou, například limita v příkladu 2, která vyšla přibližně 3,68.

Shrnující otázky

Příklad 3
Student si vytvořil tabulku funkčních hodnot, pomocí které chce něco zjistit o limx7g(x).
x66,996,999977,00017,018
g(x)3,411,941,9252nedefinováno1,92481,910,46
Co můžeš na základě této tabulky říci o zadané limitě?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 4
Zadaná tabulka znázorňuje několik vybraných hodnot funkce f. Funkce je rostoucí všude kromě bodu x=5 a limita limx5f(x) existuje.
x2345678
f(x)3,74,34,94,85,66,26,9
Které z čísel je nejlepším odhadem limx5f(x)?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.