Limity složených funkcí

Podívejme se nyní na limity složených funkcí. Máme zde limitu funkce g z h(x) pro x blížící se ke 3. Jako vždy doporučuji zastavit si video a zkusit si tuto limitu spočítat samostatně. Můžeme použít známé vlastnosti limit. Víme, že tohle se bude rovnat… Bude se to rovnat funkci g v bodě… Limita pro x blížící se ke 3 z funkce h tedy limita funkce h pro x blížící se k 3. Takže musíme určit, čemu se rovná limita funkce h pro x blížící se ke 3. Podívejme se na graf funkce h zde. Když se x blíží ke 3… Vidíme, že h(3) není definováno, ale stále se můžeme ptát, čemu se rovná limita funkce h pro x blížící se ke 3. Když se x blíží ke 3 zleva, vidíme, že funkce se rovná konstantní funkci 2. Tedy funkční hodnota h v bodě 2,5 je 2, funkční hodnota h v bodě 2,9 je 2, funkční hodnota h v bodě 2,99999 je 2. Takže to vypadá, že limita zleva se rovná 2. Když se blížíme zprava, dostaneme totéž. Funkční hodnota h v bodě 3,01 je 2, funkční hodnota h v bodě 3,001 je 2, funkční hodnota h v bodě 3,0000001 je 2, a tak je tato limita rovna 2. Výraz se nám tím zjednodušil na g(2). A čemu se rovná g(2)? g je tato funkce. Když je x rovno 2, g(2) se rovná 0. Takže tohle se rovná 0 a jsme hotoví. Pojďme si udělat ještě pár dalších příkladů. Nyní chceme určit limitu funkce h z g(x) pro x blížící se k −1. Stejně jak jsme to udělali předtím, toto se bude rovnat funkci h v bodě (limita funkce g pro x blížící se k −1). Takže spočítejme limitu funkce g pro x blížící se k −1. Tady je graf funkce y se rovná g(x). A vidíme, že v bodě −1 dochází k nespojitosti. Když se k bodu x rovno −1 blížíme zleva, vypadá to, že hodnoty jdou neomezeně záporným směrem, neboli blížíme se k zápornému nekonečnu. A když se blížíme zprava, když se k bodu x rovno −1 blížíme z pravé strany, vypadá to, že jdeme k nekonečnu. I kdybychom se blížili k tomu samému nekonečnu, řekli bychom, že limita není definovaná, alespoň technicky vzato. V tomto případě ale jdeme jednou ke kladnému nekonečnu, z druhé strany k zápornému nekonečnu, takže tato limita není definovaná. Nebo bych měl spíš říci, že neexistuje. Pokud limita funkce g pro x blížící se k −1 neexistuje, tak ani nemůžeme vyčíslit tento výraz, nemůžeme určit hodnotu h v bodě „neexistuje”, a tudíž celá tato limita neexistuje. Udělejme si ještě jeden příklad. Máme limitu funkce h z f(x) pro x blížící se k −3. To se rovná funkci h v bodě (limita pro x blížící se k −3 z funkce f). Takže se podívejme na funkci f. Toto je graf funkce y rovná se f(x) a zajímá nás limita pro x blížící se k −3. Když se k bodu x rovno −3 blížíme z levé strany, když jsme čím dál tím blíže k −3, vypadá to, že hodnoty se blíží k 1, a když se blížíme z pravé strany, zdá se, že se hodnoty opět blíží k 1. Kdybych z levé strany bral postupně −3,1; −3,01; −3,001, dostanu se čím dál tím blíž k… Když zde udělám funkční hodnoty, takže spíš f(−3,1), f(−3,01), f(−3,001). dostanu se čím dál tím blíž k 1. A na pravé straně to bude to samé. Takže tato limita je 1. Nyní musíme vyčíslit. Přepíšu si to. Takže tohle se rovná h(1), což musíme vyčíslit. Ale když se podíváme na graf, funkce v bodě 1 není definovaná. h(1) tedy není definováno. V tomto případě tak limita opět neexistuje. Určení limity funkce f bylo opět poměrně přímočaré, ale když jsme výsledek dosadili do funkce h, tak zde funkce nebyla definovaná.