Hlavní obsah
Limity složitějších funkcí
Vyřešíme si několik příkladů, ve kterých budeme hledat limitu výrazu složeného ze dvou funkcí, přičemž grafy těchto funkcí budeme znát. Například budeme hledat limitu součinu funkcí pro x blížící se k 0.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Pojďme spočítat limitu z f(x)
krát h(x) pro x blížící se k 0. Máme zadány grafy funkcí
y se rovná f(x) a y se rovná h(x). Díky vlastnostem
limit víme, že to se bude rovnat limitě f(x) pro x
jdoucí k 0 krát limita h(x) x jdoucí k 0. A teď se podívejme,
čemu se rovnají. Nejprve limita z f(x)
pro x blížící se k 0. Všimněte si, že funkce
zde není definovaná, ale vidíme, že
když se blížíme zleva, funkční hodnoty
se blíží k −1. A když se
blížíme zprava, funkční hodnoty
se opět blíží k −1. Takže tato limita
se rovná −1. Když se blížíme
zleva, jdeme k −1, když se blížíme zprava,
funkční hodnoty jdou k −1. A co h(x)? Graf h(x)
máme tady. Když se x blíží k 0, funkce je v bodě
x rovno 0 definovaná, vypadá to, že
se to rovná 1. A limita je také rovna 1. To můžeme nahlédnout, protože
když se blížíme zleva, hodnoty se blíží k 1, a když se blížíme zprava,
hodnoty jdou také k 1. Když se blížíme k bodu x rovno
0 zleva, funkce se blíží k 1, když se k bodu x rovno 0 blížíme
zprava, funkce se blíží k 1. A dává to smysl, že
funkce je zde definovaná, že je definovaná
v bodě x rovno 0, a že limita pro x blížící se
k 0 je rovna tomu samému, je rovna funkční
hodnotě v tomto bodě, protože toto
je spojitá funkce. Takže tohle se rovná 1
a (−1) krát 1 se rovná −1. Tedy tohle
je rovno −1. Zkusme ještě
jeden příklad. Vypadá to, že obě
funkce jsou spojité. Máme zde limitu pro x blížící
se k 0 z h(x) lomeno g(x). Takže opět díky
vlastnostem limit víme, že to se rovná limitě h(x) pro x jdoucí
k 0 lomeno limita g(x) pro x jdoucí k 0. Čemu se rovná limita h(x)
pro x blížící se k 0? Když se k bodu x
rovno 0 blížíme zleva, funkční hodnoty
se blíží ke 4, a když se k bodu x
rovno 0 blížíme zprava, funkční hodnoty
se blíží ke 4. Tomu se rovná i funkční
hodnota v bodě x rovno 0, což dává smysl,
jelikož je spojitá, takže limita pro x jdoucí k 0 by se měla
rovnat funkční hodnotě v bodě x rovno 0. Takže horní limita
je rovna 4. A nyní limita g(x)
pro x blížící se k 0. Když se zleva x blíží k 0,
funkční hodnoty se blíží k 0. A když se x blíží k 0 zprava,
funkční hodnoty se opět blíží k 0 a to se také rovná g(0). To dává smysl, že limita a funkční hodnota
v tomto bodě jsou to samé, protože g je spojitá. Takže tohle se rovná 0. Ale nyní jsme v podivné situaci,
protože 4 dělíme 0, taková limita neexistuje,
protože 4 nemůžeme dělit 0. Takže i když limita h(x) pro
x blížící se k 0 existuje a limita g(x) pro x
blížící se k 0 existuje, 4 nemůžeme vydělit 0, Takže celá tato limita neexistuje. A kdybyste si nakreslili
graf funkce h(x) lomeno g(x), viděli byste ještě zřetelněji,
že tato limita neexistuje. Bylo by to možné
nahlédnout graficky.