If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Limity složitějších funkcí

Vyřešíme si několik příkladů, ve kterých budeme hledat limitu výrazu složeného ze dvou funkcí, přičemž grafy těchto funkcí budeme znát. Například budeme hledat limitu součinu funkcí pro x blížící se k 0.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Pojďme spočítat limitu z f(x) krát h(x) pro x blížící se k 0. Máme zadány grafy funkcí y se rovná f(x) a y se rovná h(x). Díky vlastnostem limit víme, že to se bude rovnat limitě f(x) pro x jdoucí k 0 krát limita h(x) x jdoucí k 0. A teď se podívejme, čemu se rovnají. Nejprve limita z f(x) pro x blížící se k 0. Všimněte si, že funkce zde není definovaná, ale vidíme, že když se blížíme zleva, funkční hodnoty se blíží k −1. A když se blížíme zprava, funkční hodnoty se opět blíží k −1. Takže tato limita se rovná −1. Když se blížíme zleva, jdeme k −1, když se blížíme zprava, funkční hodnoty jdou k −1. A co h(x)? Graf h(x) máme tady. Když se x blíží k 0, funkce je v bodě x rovno 0 definovaná, vypadá to, že se to rovná 1. A limita je také rovna 1. To můžeme nahlédnout, protože když se blížíme zleva, hodnoty se blíží k 1, a když se blížíme zprava, hodnoty jdou také k 1. Když se blížíme k bodu x rovno 0 zleva, funkce se blíží k 1, když se k bodu x rovno 0 blížíme zprava, funkce se blíží k 1. A dává to smysl, že funkce je zde definovaná, že je definovaná v bodě x rovno 0, a že limita pro x blížící se k 0 je rovna tomu samému, je rovna funkční hodnotě v tomto bodě, protože toto je spojitá funkce. Takže tohle se rovná 1 a (−1) krát 1 se rovná −1. Tedy tohle je rovno −1. Zkusme ještě jeden příklad. Vypadá to, že obě funkce jsou spojité. Máme zde limitu pro x blížící se k 0 z h(x) lomeno g(x). Takže opět díky vlastnostem limit víme, že to se rovná limitě h(x) pro x jdoucí k 0 lomeno limita g(x) pro x jdoucí k 0. Čemu se rovná limita h(x) pro x blížící se k 0? Když se k bodu x rovno 0 blížíme zleva, funkční hodnoty se blíží ke 4, a když se k bodu x rovno 0 blížíme zprava, funkční hodnoty se blíží ke 4. Tomu se rovná i funkční hodnota v bodě x rovno 0, což dává smysl, jelikož je spojitá, takže limita pro x jdoucí k 0 by se měla rovnat funkční hodnotě v bodě x rovno 0. Takže horní limita je rovna 4. A nyní limita g(x) pro x blížící se k 0. Když se zleva x blíží k 0, funkční hodnoty se blíží k 0. A když se x blíží k 0 zprava, funkční hodnoty se opět blíží k 0 a to se také rovná g(0). To dává smysl, že limita a funkční hodnota v tomto bodě jsou to samé, protože g je spojitá. Takže tohle se rovná 0. Ale nyní jsme v podivné situaci, protože 4 dělíme 0, taková limita neexistuje, protože 4 nemůžeme dělit 0. Takže i když limita h(x) pro x blížící se k 0 existuje a limita g(x) pro x blížící se k 0 existuje, 4 nemůžeme vydělit 0, Takže celá tato limita neexistuje. A kdybyste si nakreslili graf funkce h(x) lomeno g(x), viděli byste ještě zřetelněji, že tato limita neexistuje. Bylo by to možné nahlédnout graficky.