Hlavní obsah
Diferenciální počet
Unit 1: Lesson 16
Věta o nabývání mezihodnotOvěřování předpokladů věty o nabývání mezihodnot: rovnice
Příklad toho, jak ověřit, že jsou splněny předpoklady věty o nabývání mezihodnot (když známe rovnici funkce).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce g(x) se
rovná 1 lomeno x. Můžeme za pomoci věty
o nabývání mezihodnot říci, že existuje takové číslo ‚c‘,
pro které je g v bodě ‚c‘ rovno 0 a navíc platí, že -1 je menší nebo rovno
než ‚c‘, a to je menší nebo rovno než 1? Pokud ano, své
tvrzení odůvodněte. Abychom větu o nabývání
mezihodnot mohli vůbec použít, musíme mít funkci spojitou
na intervalu, který nás zajímá. V našem případě jde o
uzavřený interval od −1 do 1. Na tomto intervalu funkce
1 lomeno x není spojitá, protože není definovaná
v bodě x rovno 0. Takže naše odpověď je: „Ne, protože g(x)
není definovaná...“ Nebo bych mohl říci,
že není spojitá. Taky je ale pravda, že není
na celém intervalu definovaná. „...není spojitá na uzavřeném
intervalu od -1 do 1.“ Do závorek můžeme dopsat, že
není definovaná v bodě x rovno 0. Podívejme se
na druhou otázku. Můžeme za pomoci věty
o nabývání mezihodnot říci, že rovnice g(x) rovná se 3 lomeno 4
má řešení na intervalu, pro který je 1 menší nebo rovno x,
a to je menší nebo rovno než 2? Pokud ano, své
tvrzení odůvodni. Nejprve se podívejme
na náš interval. Jde o interval od 1 do 2. Na tomto intervalu je
naše funkce spojitá. g(x) je spojitá na uzavřeném
intervalu od 1 do 2. Podrobnějším odůvodněním
může být, že g(x) je definovaná pro všechna
reálná čísla kromě x rovno 0 a že všechny racionální funkce,
jako je 1 lomeno x, jsou spojité ve všech bodech
svého definičního oboru. Tím máme pořádně odůvodněné, že
g(x) je na tomto intervalu spojitá. Nyní se podíváme, jakých hodnot
nabývá g v krajních bodech intervalu. Toto jsou
naše krajní body. g v bodě 1 se rovná
1 lomeno 1, což je 1, a g v bodě 2
bude 1 lomeno 2. 3 lomeno 4 je mezi hodnotou
g v bodě 1 a hodnotou g v bodě 2, tudíž podle věty
o nabývání mezihodnot existuje takové x v uzavřeném
intervalu od 1 do 2, že g v bodě x se
rovná 3 lomeno 4. Takže ano, za pomoci věty
o nabývání mezihodnot můžeme říci, že rovnice g(x) rovná se
3 lomeno 4 má řešení. A tím jsme hotovi.