Ověřování předpokladů věty o nabývání mezihodnot: rovnice

Funkce g(x) se rovná 1 lomeno x. Můžeme za pomoci věty o nabývání mezihodnot říci, že existuje takové číslo ‚c‘, pro které je g v bodě ‚c‘ rovno 0 a navíc platí, že -1 je menší nebo rovno než ‚c‘, a to je menší nebo rovno než 1? Pokud ano, své tvrzení odůvodněte. Abychom větu o nabývání mezihodnot mohli vůbec použít, musíme mít funkci spojitou na intervalu, který nás zajímá. V našem případě jde o uzavřený interval od −1 do 1. Na tomto intervalu funkce 1 lomeno x není spojitá, protože není definovaná v bodě x rovno 0. Takže naše odpověď je: „Ne, protože g(x) není definovaná...“ Nebo bych mohl říci, že není spojitá. Taky je ale pravda, že není na celém intervalu definovaná. „...není spojitá na uzavřeném intervalu od -1 do 1.“ Do závorek můžeme dopsat, že není definovaná v bodě x rovno 0. Podívejme se na druhou otázku. Můžeme za pomoci věty o nabývání mezihodnot říci, že rovnice g(x) rovná se 3 lomeno 4 má řešení na intervalu, pro který je 1 menší nebo rovno x, a to je menší nebo rovno než 2? Pokud ano, své tvrzení odůvodni. Nejprve se podívejme na náš interval. Jde o interval od 1 do 2. Na tomto intervalu je naše funkce spojitá. g(x) je spojitá na uzavřeném intervalu od 1 do 2. Podrobnějším odůvodněním může být, že g(x) je definovaná pro všechna reálná čísla kromě x rovno 0 a že všechny racionální funkce, jako je 1 lomeno x, jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. Tím máme pořádně odůvodněné, že g(x) je na tomto intervalu spojitá. Nyní se podíváme, jakých hodnot nabývá g v krajních bodech intervalu. Toto jsou naše krajní body. g v bodě 1 se rovná 1 lomeno 1, což je 1, a g v bodě 2 bude 1 lomeno 2. 3 lomeno 4 je mezi hodnotou g v bodě 1 a hodnotou g v bodě 2, tudíž podle věty o nabývání mezihodnot existuje takové x v uzavřeném intervalu od 1 do 2, že g v bodě x se rovná 3 lomeno 4. Takže ano, za pomoci věty o nabývání mezihodnot můžeme říci, že rovnice g(x) rovná se 3 lomeno 4 má řešení. A tím jsme hotovi.