Opakování věty o nabývání mezihodnot

Věta o nabývání mezihodnot mluví o klíčové vlastnosti spojitých funkcí: jakákoli funkce $f$f, která je spojitá na intervalu [a,b], nabude na tomto intervalu všechny hodnoty mezi $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis a $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis.

Kdybychom to chtěli napsat formálněji, tak věta říká, že pro každé $L$L mezi $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis a $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis existuje $c$c v intervalu $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket tak, že $f(c)=L$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, L.

Tato věta dává přirozený smysl, když si uvědomíme, že při kreslení grafu spojitých funkcí nemusíme zvedat tužku z papíru. Když víme, že graf prochází body $[a;f(a)]$open bracket, a, ;, f, left parenthesis, a, right parenthesis, close bracket a $[b;f(b)]$open bracket, b, ;, f, left parenthesis, b, right parenthesis, close bracket...

... tak musí nabývat také všech hodnot $y$y mezi $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis a $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis:

Představ si, že máme spojitou funkci $f$f a tabulku některých jejích funkčních hodnot. Zkusme určit, kde se nalézá řešení rovnice $f(x)=2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2.

Všimni si, že $f(-1)=3$f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 a $f(0)=-1$f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1. Na intervalu $[-1;0]$open bracket, minus, 1, ;, 0, close bracket tak funkce musí nabývat všech hodnot mezi $-1$minus, 1 a $3$3.

Číslo $2$2 je mezi $-1$minus, 1 a $3$3, takže v intervalu $[-1;0]$open bracket, minus, 1, ;, 0, close bracket musí být takové $c$c, že $f(c)=2$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2.