Typy nespojitostí

V tomto videu si povíme něco o různých typech nespojitosti, které jste nejspíše už viděli během algebry nebo jinde, řekneme si, jak souvisí s našimi znalostmi jednostranných a oboustranných limit. Nejprve se podívejme, jaké nespojitosti rozlišujeme. Tady vlevo můžete vidět, že tato křivka vypadá jako graf y rovná se x na druhou, dokud se nedostaneme do bodu x rovno 3, v němž máme místo hodnoty 3 na druhou tuto díru a funkční hodnota v bodě 3 je místo toho 4, ale pak pokračuje dál jako y rovná se x na druhou. Tomuto říkáme odstranitelná nespojitost, a to ze zjevných důvodů, protože když v tomto bodě dochází k nespojitosti, snadno si dokážete představit, jak funkci v bodě dodefinovat tak, aby byla spojitá, takže tato nespojitost je odstranitelná. Ale jak to souvisí s naší definicí spojitosti? Připomeňme si naši definici spojitosti: řekneme, že f je spojitá, právě tehdy, když… Ještě bychom měli napsat, že jde o spojitost v bodě x rovno ‚c‘. Právě tehdy, když je limita f pro x jdoucí k ‚c‘ rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘. Proč tomu tohle nevyhovuje? Oboustranná limita existuje. Pokud řekneme, že ‚c‘ je v tomhle případě rovno 3, tak je limita pro x blížící se ke 3 z funkce f(x)… Vypadá to, když se podíváme na graf, a já ve skutečnosti vím, že jde o graf y rovná se x na druhou, až na nespojitost, že tato limita je rovna 9. Ale problémem je, že tak jak je graf nakreslený, nejde o totéž číslo jako funkční hodnota. Funkční hodnota f(3)… Tak jak je funkce znázorněna se f(3) rovná 4. Takže jsme v situaci, kdy oboustranná limita existuje, ale nerovná se funkční hodnotě. V jiných příkladech se vám může stát, že funkce zde ani nebude definovaná. Takže tohle by zde nebylo. V tom případě by limita opět existovala, ale funkce by zde nebyla definovaná, takže ani v jednom případě nesplníme tuto podmínku spojitosti. A to je důvodem, proč odstranitelná nespojitost v bodě není spojitá podle naší definice. Nyní se podívejme na druhý příklad. Když zkusím spojitost posoudit intuitivně tak, že kreslím graf tužkou na papíře, vidíme, že jak se dostanu do bodu x rovno 2, musím zvednout tužku a až pak dál kreslit. Takže to nám napovídá, že zde dochází k nespojitosti. Vidíme, že i kdybych tady kreslil tužkou, tak musím zvednout tužku, abych mohl skočit k bodu dole, a pak bych pokračoval v kreslení nahoře. V obou případech bych zvedl tužku z papíru. Intuitivně je zde tedy nespojitost. Tomuto konkrétnímu typu nespojitosti, kdy z jednoho bodu skáču na druhý, abych mohl pokračovat dál, říkáme nespojitost 1. druhu. A tohle je odstranitelná nespojitost. Jak to souvisí s limitami? V tomto případě limity zleva a zprava existují, ale nerovnají se sobě, takže oboustranná limita neexistuje. V tomto konkrétním případě platí, že pro všechna x až do 2 včetně jde o graf funkce y rovná se x na druhou a pro x větší než 2 jde o graf odmocniny z x. Za těchto okolností se limita z f(x) pro x blížící se ke 2 zleva rovná 4. Blížíme se k této hodnotě, což je dokonce i funkční hodnota. Ale když budeme hledat limitu z f(x) pro x blížící se ke 2 zprava, čemu se bude rovnat? Blížíme se zprava, tohle je graf odmocniny z x, tedy se blížíme k odmocnině ze 2. Samozřejmě jen z pohledu na graf nepoznáte, že jde o odmocninu ze 2. Já to vím jen proto, že když jsem vytvářel tento obrázek, použil jsem tuto funkci. Ale už jen od pohledu je jasné, že když se blížíme zprava a zleva, jdeme vždy k jiné hodnotě. A tak i když jednostranné limity existují, nerovnají se tomu samému, takže oboustranná limita neexistuje. A když oboustranná limita neexistuje, tak se určitě nerovná funkční hodnotě, i když je zde funkce definovaná. Proto nespojitost 1. druhu nesplňuje tuto podmínku. Je to opět intuitivní. Vidíme, že musím udělat skok, musím zvednout tužku, protože tyto body nejsou propojené. A nakonec tady máme to, čemu se často říká nespojitost 2. druhu. Nespojitost 2. druhu. Intuitivně vidíme, že zde máme asymptotu, jde o svislou asymptotu procházející bodem x rovno 2. Kdybych zkoušel tužkou kreslit graf, zleva bych takto šel dál a dál, vlastně bych to dělal věčně, hodnoty by neomezeně klesaly, jak bych se zleva čím dál tím víc blížil k bodu x rovno 2. Kdybych se k bodu x rovno 2 blížil zprava, tak bych šel neomezeně nahoru. Ale i kdybych mohl… Když říkám neomezeně, tak to jde do nekonečna, takže je ve skutečnosti nemožné, aby běžný smrtelník za svůj život nakreslil celý graf. Ale víte, co myslím. Určitě se odsud sem nedostanu bez toho, aniž bych zvedl tužku z papíru. Pokud toto chceme spojit s našimi znalostmi limit, tak obě jednostranné limity jsou nevlastní, takže řekneme, že neexistují, a tudíž nemůžeme splnit tuto podmínku. Takže limita f(x) pro x blížící se ke 2 zleva, vidíme, že jdeme neomezeně záporným směrem, takže občas uvidíte někoho napsat něco jako toto: záporné nekonečno. Toto je ale spíše intuitivní zápis, matematicky přesnější je říci, že limita je nevlastní. Rovněž limita f(x) pro x blížící se ke 2 zprava jde neomezeně dál a dál, tentokrát ke kladnému nekonečnu. Tato limita je tedy opět nevlastní. Protože je nevlastní, tak tato limita neexistuje a nemůže tak splnit tuto podmínku, tudíž dochází k nespojitosti. Takže tohle je odstranitelná nespojitost, nespojitost 1. druhu, když takhle skáču, a když máme takovouto svislou asymptotu, tak je to nespojitost 2. druhu.