Limity goniometrických funkcí

V tomto videu se podíváme na limity z goniometrických funkcí. Začněme s nějakou poměrně přímočarou. Zkusme spočítat limitu pro x blížící se k π z funkce sin(x). Zastavte si video a zkuste si to spočítat. Jak funkce sin(x), tak cos(x) jsou definované na všech reálných číslech. Definiční obor jsou reálná čísla. Za x můžete dosadit libovolné reálné číslo a dostanete nějaký definovaný výsledek. Tyto funkce jsou také spojité na celém svém definičním oboru. Všechny goniometrické funkce jsou spojité na celém svém definičním oboru. Protože sin(x) je spojitý a je definovaný v bodě x rovno π, limita se rovná sin(π). A sin(π), jak už možná víte, se rovná 0. Podobný příklad můžeme udělat s cos(x). Takže čemu se rovná limita pro x blížící se k… Vezmu nějaký libovolný úhel. ...pro x blížící se k (π lomeno 4) z funkce cos(x)? Kosinus je definovaný pro všechna reálná čísla, x může být libovolné reálné číslo a je také spojitý, takže pro cos(x) bude tato limita rovna cos(π lomeno 4), a to se rovná odmocnině ze 2 lomené 2. Jde o jeden z těch úhlů, jejichž hodnotu sinu či kosinu je dobré umět. Ve stupních je toto úhel o velikosti 45 stupňů. Obecně platí, že když pracujeme se sinem nebo kosinem, limita pro x blížící se k ‚a‘ z funkce sin(x) je rovna sin(a). Toto platí pro libovolné reálné číslo ‚a‘. Pro kosinus platí to samé. Limita pro x blížící se k ‚a‘ z funkce cos(x) se rovná cos(a). Už jsem to několikrát říkal, platí to proto, že jejich definiční obory jsou všechna reálná čísla, jsou definované pro jakékoliv reálné číslo, které do nich dosadíte, a na celém svém definičním oboru jsou spojité. Nyní se podívejme na další goniometrické funkce, na ty, které nejsou definované pro všechna reálná čísla, jejichž definiční obory jsou nějak omezeny. Zkusme spočítat limitu pro x blížící se k π z funkce tan(x). Čemu se to bude rovnat? Toto se rovná limitě pro x blížící se k π, tan(x) se rovná sin(x) lomeno cos(x). Oba tyto výrazy jsou definované v bodě π, takže stačí dosadit π, jen se musíme ujistit, že ve jmenovateli nedostaneme 0, jinak by limita neexistovala. Dosazením dostaneme sin(π) lomeno cos(π), což se rovná 0 lomeno −1, a to je v pořádku. Když to bylo −1 lomeno 0, byl by problém, ale tohle se jednoduše rovná 0. Ale když se zeptám, čemu se rovná limita pro x blížící se k (π lomeno 2) z funkce tan(x)? Zastavte si video a zkuste si to spočítat. Toto je rovno limitě pro x blížící se k (π lomeno 2) ze sin(x) lomeno cos(x). Sin(π lomeno 2) je 1, ale cos(π lomeno 2) je 0. Takže kdybychom jen dosadili, tohle by se rovnalo 1 lomeno 0. Také se na to můžeme dívat tak, že bod (π lomeno 2) není v definičním oboru funkce tangens. Tato limita tak nakonec neexistuje. Obecně platí, že když pracujeme se sinem, kosinem, tangentou nebo kosekansem, sekansem či kotangentou, tak když počítáme limitu blížící se k bodu v jejich definičním oboru, hodnota limity se rovná funkční hodnotě v tomto bodě. Když počítáme limitu v bodě mimo jejich definiční obor, je velká šance, že limita nebude existovat. V tomto případě limita neexistuje. A poznáme to tak, že bod (π lomeno 2) není v definičním oboru funkce tangens. Kdybychom měli graf funkce tangens, viděli bychom, že bodem (π lomeno 2) prochází svislá asymptota. Udělejme ještě jeden příklad. Limita pro x blížící se k π z funkce cotan(x). Zastavte si video a zkuste zjistit, čemu se to rovná. Cotan(x) je roven 1 lomeno tan(x), a to se rovná cos(x) lomeno sin(x). A z tohohle hledáme limitu pro x blížící se k π. Leží π v definičním oboru funkce cotan(x)? Neleží. Kdybychom do výrazu jen dosadili π, dostaneme −1 lomeno 0, takže π neleží v definičním oboru kotangensu. Kdybychom měli graf, viděli bychom zde svislou asymptotu. Takže limita neexistuje. Limita neexistuje. π neleží v definičním oboru tohohle, takže je velká šance, že limita neexistuje. Když bod, k němuž se blížíme, leží v definičním oboru dané goniometrické funkce, limita bude existovat. Speciálně sinus a kosinus jsou definované pro všechna reálná čísla a ve všech reálných bodech jsou spojité, takže limita v jakémkoliv bodě bude existovat a bude se rovnat funkční hodnotě v tom bodě.