Pojďme se zamyslet nad limitami
po částech definovaných funkcí, které jsou definované
algebraicky jako naše f(x). Zastavte si video a
zkuste sami určit, čemu by se tyto
limity měly rovnat. Některé jsou jednostranné,
jiné jsou běžné oboustranné limity. Začněme s první limitou. Limita pro x blížící se ke 4
hodnotami většími než 4. To je to, co nám
říká ono plus. Když je x větší než 4, naše f(x) je rovno
odmocnině z x. Takže když se ke 4 blížíme zprava,
pracujeme s touto částí funkce, tudíž tohle se bude
rovnat odmocnině ze 4. I když přímo v bodě x rovno 4
je f(x) rovna tomuhle, blížíme se hodnotami
většími než 4, blížíme se zprava, a proto použijeme tuto
část předpisu naší funkce. Takže tohle
se rovná 2. A co limita f(x) pro
x blížící se ke 4 zleva? Potom použijeme tuto
část předpisu naší funkce. Tohle se tedy bude rovnat
(4 plus 2) lomeno (4 minus 1), což se rovná
6 lomeno 3, a to se rovná 2. Když chceme nyní vědět, čemu se
rovná limita f(x) pro x blížící se ke 4, tak máme štěstí, protože když se k bodu
x rovno 4 blížíme zleva i zprava, blížíme se k té
samé hodnotě. A víme, že aby
oboustranná limita existovala, musíme se zprava i zleva
blížit k té samé hodnotě, což se skutečně blížíme,
proto se to rovná 2. Čemu se rovná limita f(x)
pro x blížící se ke 2? Když se x blíží ke 2,
půjde o tento případ. V bodě x rovno 1 se
budou dít zajímavé věci, protože jmenovatel
je zde nulový, ale v bodě x rovno 2 bude
tato část křivky spojitá. Stačí tak jen dosadit a dostaneme
(2 plus 2) lomeno (2 minus 1), což se rovná
4 lomeno 1, a to se rovná 4. Udělejme si ještě
jeden příklad. Máme další po částech
definovanou funkci, takže si zastavte video a
zkuste přijít na tyhle limity. A teď to udělejme společně. Čemu se rovná limita pro
x blížící se k −1 zprava? Když se blížíme zprava, tedy když jsou hodnoty
větší nebo rovny −1, platí tato část
předpisu naší funkce. Takže tohle se bude rovnat
2 umocněno na −1, a to se rovná 1/2. A co když se
blížíme zleva? Když se blížíme zleva,
jde o tento případ, jsme nalevo
od bodu x rovno −1. Takže tohle se
bude rovnat sinu, protože platí tato
část předpisu funkce, z −1 plus 1, což je sin(0) a to se rovná 0. Čemu se rovná oboustranná limita
g(x) pro x blížící se k −1? Když se blížíme
zprava a zleva, blížíme se ke dvěma
různým hodnotám. A když se jednostranné
limity nerovnají, tak tato limita
neexistuje. A čemu se rovná limita g(x)
pro x blížící se k 0 zprava? Když se k 0
blížíme zprava, bude platit
tento případ, protože 0 určitě
leží v tomto intervalu. Na tomto intervalu
bude tohle spojité, takže do předpisu
stačí dosadit x rovno 0, což bude 2 na 0, a to se rovná 1. A máme hotovo!