Limity po částech definovaných funkcí

Pojďme se zamyslet nad limitami po částech definovaných funkcí, které jsou definované algebraicky jako naše f(x). Zastavte si video a zkuste sami určit, čemu by se tyto limity měly rovnat. Některé jsou jednostranné, jiné jsou běžné oboustranné limity. Začněme s první limitou. Limita pro x blížící se ke 4 hodnotami většími než 4. To je to, co nám říká ono plus. Když je x větší než 4, naše f(x) je rovno odmocnině z x. Takže když se ke 4 blížíme zprava, pracujeme s touto částí funkce, tudíž tohle se bude rovnat odmocnině ze 4. I když přímo v bodě x rovno 4 je f(x) rovna tomuhle, blížíme se hodnotami většími než 4, blížíme se zprava, a proto použijeme tuto část předpisu naší funkce. Takže tohle se rovná 2. A co limita f(x) pro x blížící se ke 4 zleva? Potom použijeme tuto část předpisu naší funkce. Tohle se tedy bude rovnat (4 plus 2) lomeno (4 minus 1), což se rovná 6 lomeno 3, a to se rovná 2. Když chceme nyní vědět, čemu se rovná limita f(x) pro x blížící se ke 4, tak máme štěstí, protože když se k bodu x rovno 4 blížíme zleva i zprava, blížíme se k té samé hodnotě. A víme, že aby oboustranná limita existovala, musíme se zprava i zleva blížit k té samé hodnotě, což se skutečně blížíme, proto se to rovná 2. Čemu se rovná limita f(x) pro x blížící se ke 2? Když se x blíží ke 2, půjde o tento případ. V bodě x rovno 1 se budou dít zajímavé věci, protože jmenovatel je zde nulový, ale v bodě x rovno 2 bude tato část křivky spojitá. Stačí tak jen dosadit a dostaneme (2 plus 2) lomeno (2 minus 1), což se rovná 4 lomeno 1, a to se rovná 4. Udělejme si ještě jeden příklad. Máme další po částech definovanou funkci, takže si zastavte video a zkuste přijít na tyhle limity. A teď to udělejme společně. Čemu se rovná limita pro x blížící se k −1 zprava? Když se blížíme zprava, tedy když jsou hodnoty větší nebo rovny −1, platí tato část předpisu naší funkce. Takže tohle se bude rovnat 2 umocněno na −1, a to se rovná 1/2. A co když se blížíme zleva? Když se blížíme zleva, jde o tento případ, jsme nalevo od bodu x rovno −1. Takže tohle se bude rovnat sinu, protože platí tato část předpisu funkce, z −1 plus 1, což je sin(0) a to se rovná 0. Čemu se rovná oboustranná limita g(x) pro x blížící se k −1? Když se blížíme zprava a zleva, blížíme se ke dvěma různým hodnotám. A když se jednostranné limity nerovnají, tak tato limita neexistuje. A čemu se rovná limita g(x) pro x blížící se k 0 zprava? Když se k 0 blížíme zprava, bude platit tento případ, protože 0 určitě leží v tomto intervalu. Na tomto intervalu bude tohle spojité, takže do předpisu stačí dosadit x rovno 0, což bude 2 na 0, a to se rovná 1. A máme hotovo!