If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:20

Limity po částech definovaných funkcí: absolutní hodnota

Transkript

Řekněme, žže f(x) se rovná absolutní hodnotě z (x minus 3) lomeno (x minus 3) a já chci znát limitu f(x), pro ‚x‘ jdoucí k 3. Lehko můžžeme vidět, žže funkce není definovaná v bodě, kde je ‚x‘ rovno 3. Dostaneme výraz (0 lomeno 0), který není definován. Abychom vyřešili tento problém, přepišme tuto funkci trochu jinak. Řekněme, že f(x) se bude rovnat ...a teď to rozdělím na dva případy: Na případ, když je ‚x‘ většší nežž 3 a kdyžž je ‚x‘ menšší nežž 3. Udělám to ve dvou barvách. Kdyžž je ‚x‘ většší nežž 3, jak se nám funkce zjednodušší? A ť dosadím cokoliv, dostanu nahoře kladnou hodnotu. Kdyžž vezmu absolutní hodnotu, bude to to samé. Pro ‚x‘ většší nežž 3, to bude vždy (x minus 3) lomeno (x minus 3), protožže kdyžž ‚x‘ je většší nežž 3, čitatel bude kladný. a pokud vezmeme absolutní hodnotu, nezmění se nám znaménko. Takžže dostaneme tento výraz, nebo, po přepsání se to bude rovnat 1. Tedy pro ‚x‘ většší nežž 3. Podobně, podívejme se, co se stane, kdyžž je ‚x‘ menšší nežž 3. Kdyžž je ‚x‘ menšší nežž 3, potom (x minus 3) bude záporné číslo. Kdyžž vezmeme jeho absolutní hodnotu, potom ho převrátíme; Takžže to bude minus (x minus 3) lomeno (x minus 3) anebo, pokud to máme zjednodušit, pro každou hodnotu menší nežž 3 se tato část zjednodušší na 1, takže nám zbude −1. −1 pro ‚x‘ menšší nežž 3. Jestli mi nevěříte, zkuste to s konkrétními čísly. Vyzkouššejte pár čísel: 3,1; 3,001; 3,5; 4; 7 Pro jakékoli číslo většší nežž 3 dostanete 1. Dostanete stejný výraz děleno stejným výrazem. A teď zkuste hodnoty menšší nežž 3. Vžždy dostanete −–1, ať dosadíte cokoliv. Načrtněme si teď tuto funkci. Takžže nakreslíme osy, osa x, osa y se rovná f(x). Zajímá nás ‚x‘ rovno 3. Takžže ‚x‘ se rovná 1, 2, 3, 4, 5... můžeme pokračovat... a řekněme tohle je 1, 2, takžže ‚y‘ je rovno 1 tohle je ‚y‘ rovno −1 a −2 a můžeme pokračovat... Takžže tímto způsobem jsme přepsali funkci. Je to úplně stejná funkce, jenom jsme ji napsali jiným způsobem. A říkali jsme, žže naše funkce není definovaná v bodě ‚x‘ rovno 3 Pokud je ale ‚x‘ většší nežž 3, našše funkce se rovná 1, Vypadá takhle a není definovaná v 3. A kdyžž je ‚x‘ menšší nežž 3, našše funkce se rovná –−1. Takžže to vypadá –takto. ...udělám to stejnou barvou... Ješště jednou, není definovaná v 3, takže vypadá takto. Teď hledáme odpověď na otázku: Jaká je limita pro ‚x‘ jdoucí k 3? Uvažžujme limitu ze záporné strany, tedy z hodnot menších než 3. Zapsal jsem to takhle: minus jako horní index hned za trojkou. Uvažžujme limitu ‚x‘ jdoucí ke 3 zleva. Začneme s hodnotami menššími nežž 3 a přibližujeme se blíž a blíž. Začněme řekněme v nule, f(x) se rovná −–1. Jdeme k 1, f(x) se rovná −1. Jdeme k 2, f(x) se rovná –−1. Jdeme k 2,999999, f(x) se rovná –−1. Vypadá to, žže se limita blíží −1, pokud jdeme zleva. Uvažujme limitu f(x) pro ‚x‘ jdoucí ke 3 z kladného směru, z hodnot většších nežž 3. Vidíme, žže kdyžž se ‚x‘ rovná 5, f(x) je rovná 1. Kdyžž se ‚x‘ rovná 4, f(x) je rovná 1. Kdyžž se ‚x‘ rovná 3,0000001, f(x) je rovná 1. Vypadá to, že se hodnoty blíží 1. Takžže teď tu máme zvlášštní situaci. Zleva se blížžíme k jiné hodnotě, než ke které se blížíme zprava. A když se limitně blížžíme ke dvěma různým hodnotám, limita neexistuje. Takžže tahle limita neexistuje, nebo jinými slovy: ...napíšu to jinou barvou, něco mě napadlo... Limita funkce f(x) pro ‚x‘ jdoucí k nějakému číslu ‚c‘ se rovná L právě tehdy, kdyžž se limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ zleva rovná limitě f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ zprava, která je rovna L. A to se v našem případě nestalo. Limita zleva byla −1, limita zprava byla 1, Nedostali jsme stejnou limitu na obou stranách, proto v tomto případě limita neexistuje.