Derivace tg(x) a cotg(x)

Již známe derivace sin(x) a cos(x). Derivace sin(x) je cos(x) a derivace cos(x) je −sin(x). V tomto videu zjistíme, jak vypadají derivace dalších trigonometrických funkcí. Nejprve odvoďme derivaci tan(x). tan(x) si můžeme napsat jako podíl sin(x) a cos(x). Jelikož máme tan(x) popsán jako podíl dvou funkcí, tak k nalezení derivace použijeme pravidlo o derivaci podílu. Derivace horní funkce, což je cos(x), krát spodní funkce, což je cos(x). Dále odečteme horní funkci, tedy sin(x), krát derivace spodní funkce, tedy −sin(x). Minus u sin(x) změní toto znaménko na plus. To celé vydělíme druhou mocninou spodní funkce, tedy cos(x) na druhou. Co jsme to obdrželi? Zde máme cos(x) na druhou a sin(x) na druhou. Podle Pythagorovy věty, nebo definice jednotkové kružnice platí, že cos(x) na druhou sin(x) na druhou je 1. Celkem máme 1 lomeno cos(x) na druhou. Což je stejné jako sec(x) na druhou, neboť 1 lomeno cos(x) je sec(x). Nyní se zaměřme na převrácenou funkci k tangentě, což je kotangenta. Počítejme tedy derivaci cot(x). Opět počítejme derivaci jako podíl dvou funkcí, v tomto případě cos(x) a sin(x). Opět použijme pravidlo o derivaci podílu. Mějme tedy derivace horní funkce, tedy −sin(x), krát spodní funkce, tedy sin(x). Pak odečtěme horní funkci, tedy cos(x), krát derivace spodní funkce, tedy cos(x). To celé vydělíme čtvercem spodní funkce, tedy sin(x) na druhou. Jak výraz zjednodušit? Všimněme si sin(x) na druhou a cos(x) na druhou. Vytkněme minusy. V závorce dostaneme sin(x) na druhou plus cos(x) na druhou. Opět použitím Pythagorovy věty dostaneme v čitateli −1. Celkem tedy máme −1 lomeno sin(x) na druhou. Což je to stejné jako −csc(x) na druhou. Tím jsme hotovi.