Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 12: Derivace funkcí tg(x), cotg(x), sec(x) a csc(x)Derivace tg(x) a cotg(x)
Najdeme derivace tg(x) a cotg(x) pomocí pravidla o derivaci podílu a rozepsání zadaných funkcí jako podíl sin(x) a cos(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Již známe derivace
sin(x) a cos(x). Derivace sin(x) je cos(x) a
derivace cos(x) je −sin(x). V tomto videu zjistíme, jak vypadají
derivace dalších trigonometrických funkcí. Nejprve odvoďme
derivaci tan(x). tan(x) si můžeme napsat
jako podíl sin(x) a cos(x). Jelikož máme tan(x) popsán
jako podíl dvou funkcí, tak k nalezení derivace použijeme
pravidlo o derivaci podílu. Derivace horní funkce, což je
cos(x), krát spodní funkce, což je cos(x). Dále odečteme horní funkci, tedy sin(x),
krát derivace spodní funkce, tedy −sin(x). Minus u sin(x) změní
toto znaménko na plus. To celé vydělíme druhou mocninou spodní
funkce, tedy cos(x) na druhou. Co jsme
to obdrželi? Zde máme cos(x) na druhou
a sin(x) na druhou. Podle Pythagorovy věty, nebo definice
jednotkové kružnice platí, že cos(x) na druhou
sin(x) na druhou je 1. Celkem máme
1 lomeno cos(x) na druhou. Což je stejné jako sec(x) na druhou,
neboť 1 lomeno cos(x) je sec(x). Nyní se zaměřme na převrácenou
funkci k tangentě, což je kotangenta. Počítejme tedy
derivaci cot(x). Opět počítejme derivaci jako podíl dvou
funkcí, v tomto případě cos(x) a sin(x). Opět použijme pravidlo
o derivaci podílu. Mějme tedy derivace horní funkce, tedy
−sin(x), krát spodní funkce, tedy sin(x). Pak odečtěme horní funkci, tedy cos(x),
krát derivace spodní funkce, tedy cos(x). To celé vydělíme čtvercem spodní
funkce, tedy sin(x) na druhou. Jak výraz zjednodušit? Všimněme si sin(x) na druhou
a cos(x) na druhou. Vytkněme minusy. V závorce dostaneme sin(x)
na druhou plus cos(x) na druhou. Opět použitím Pythagorovy věty
dostaneme v čitateli −1. Celkem tedy máme −1
lomeno sin(x) na druhou. Což je to stejné jako
−csc(x) na druhou. Tím jsme hotovi.