Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 12: Derivace funkcí tg(x), cotg(x), sec(x) a csc(x)Derivace sec(x) a csc(x)
Najdeme derivace tan(x) a cot(x) pomocí pravidla o derivaci podílu a rozepsání zadaných funkcí jako 1/sin(x) a 1/cos(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Minule jsme použili pravidlo o derivaci
podílu k nalezení derivací tan(x), cot(x). V tomto videu odvodíme
derivace funkcí sekans a kosekans. Začněme
s derivací sec(x). sec(x) je dle definice to stejné
jako 1 lomeno cos(x). Derivaci lze najít pomocí
několika různých způsobů. Přirozeným způsobem by se dalo
použít pravidlo o derivaci složené funkce. Avšak my použijeme pravidlo
o derivaci podílu, které, jak víte, může být odvozeno pomocí pravidel
o derivaci součinu a složené funkce. Takže derivace bude
rovna následujícímu. Derivace funkce v čitateli, tedy 0,
krát funkce ve jmenovateli, tedy cos(x). Od toho odečtěme součin
funkce v čitateli, tedy 1, a derivace funkce
ve jmenovateli, tedy −sin(x). Napišme tedy sin(x), jelikož
minus a minus je plus. To celé vydělme čtvercem funkce
ve jmenovateli, tedy cos(x) na druhou. Jelikož 0 krát cos(x) je 0, tak celkem
máme sin(x) lomeno cos(x) na druhou. Výraz můžeme přepsat například jako
sin(x) lomeno cos(x) krát 1 lomeno cos(x). Což je
tan(x) krát sec(x). Můžeme říct, že derivace sec(x)
je sin(x) lomeno cos(x) na druhou, jinak řečeno
tan(x) krát sec(x). Počítejme nyní
derivaci csc(x). To je opět dle definice stejná věc
jako derivace 1 lomeno sin(x). Pomůckou na zapamatování je,
že csc je to opačné, než bychom očekávali. 1 lomeno cos(x), není csc(x),
nýbrž sec(x). Toto začíná na ‚s‘
a toto začíná na ‚c‘. Toto začíná na ‚c‘
a toto začíná na ‚s‘. Vraťme se však
k odvozování. Užijme pravidla
o derivaci podílu, jde užít i pravidlo o
derivaci složené funkce. Obdržíme derivaci výrazu nahoře, což
je 0, krát výraz dole, což je sin(x). Odečteme výraz nahoře, což je 1,
krát derivace výrazu dole, což je cos(x). To celé vydělme čtvercem výrazu
dole, tedy sin(x) na druhou. Toto je 0. Tedy dostaneme −cos(x)
lomeno sin(x) na druhou. Výraz můžeme upravit
stejně jako minule. Tedy máme −cos(x) lomeno sin(x)
krát 1 lomeno sin(x). Což je
−cot(x) krát csc(x). Tím jsme hotovi.