Derivace sec(x) a csc(x)

Minule jsme použili pravidlo o derivaci podílu k nalezení derivací tan(x), cot(x). V tomto videu odvodíme derivace funkcí sekans a kosekans. Začněme s derivací sec(x). sec(x) je dle definice to stejné jako 1 lomeno cos(x). Derivaci lze najít pomocí několika různých způsobů. Přirozeným způsobem by se dalo použít pravidlo o derivaci složené funkce. Avšak my použijeme pravidlo o derivaci podílu, které, jak víte, může být odvozeno pomocí pravidel o derivaci součinu a složené funkce. Takže derivace bude rovna následujícímu. Derivace funkce v čitateli, tedy 0, krát funkce ve jmenovateli, tedy cos(x). Od toho odečtěme součin funkce v čitateli, tedy 1, a derivace funkce ve jmenovateli, tedy −sin(x). Napišme tedy sin(x), jelikož minus a minus je plus. To celé vydělme čtvercem funkce ve jmenovateli, tedy cos(x) na druhou. Jelikož 0 krát cos(x) je 0, tak celkem máme sin(x) lomeno cos(x) na druhou. Výraz můžeme přepsat například jako sin(x) lomeno cos(x) krát 1 lomeno cos(x). Což je tan(x) krát sec(x). Můžeme říct, že derivace sec(x) je sin(x) lomeno cos(x) na druhou, jinak řečeno tan(x) krát sec(x). Počítejme nyní derivaci csc(x). To je opět dle definice stejná věc jako derivace 1 lomeno sin(x). Pomůckou na zapamatování je, že csc je to opačné, než bychom očekávali. 1 lomeno cos(x), není csc(x), nýbrž sec(x). Toto začíná na ‚s‘ a toto začíná na ‚c‘. Toto začíná na ‚c‘ a toto začíná na ‚s‘. Vraťme se však k odvozování. Užijme pravidla o derivaci podílu, jde užít i pravidlo o derivaci složené funkce. Obdržíme derivaci výrazu nahoře, což je 0, krát výraz dole, což je sin(x). Odečteme výraz nahoře, což je 1, krát derivace výrazu dole, což je cos(x). To celé vydělme čtvercem výrazu dole, tedy sin(x) na druhou. Toto je 0. Tedy dostaneme −cos(x) lomeno sin(x) na druhou. Výraz můžeme upravit stejně jako minule. Tedy máme −cos(x) lomeno sin(x) krát 1 lomeno sin(x). Což je −cot(x) krát csc(x). Tím jsme hotovi.