Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 2: Sečny- Směrnice sečny křivky
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body
- Sečny procházející obecně zadaným bodem
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny procházející obecně zadaným bodem (se zjednodušováním výrazů)
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny: náročný příklad 1
- Sečny: náročný příklad 2
Sečny: náročný příklad 1
Vyřešíme si náročnější příklad se směrnicemi sečen křivky. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Graf funkce f(x) prochází
třemi body vyznačenými níže. Toto jsou tedy ty tři body a tato
modrá křivka je graf funkce f(x). Určete, která tvrzení
jsou pravdivá. Tady máme několik tvrzení,
přičemž to první říká, že f v bodě -a je menší než
1 minus f v bodě -a, to celé lomeno a, což vypadá jako
docela podivné tvrzení. Jak dokážeme určit, zda je
to pravda, jen z toho, co máme? Postupujme hezky krok po kroku a uvidíme,
jestli nám něco začne dávat smysl. Kde se na grafu
nachází f v bodě -a? Toto je f v bodě -a. Je to bod x rovná se -a,
takže tady bude -a, a zde bude y rovná
se f v bodě -a. Při pohledu na graf dokážeme říci,
že f v bodě -a je někde mezi 0 a 1, tedy 0 je menší než f v bodě -a,
a to je menší než 1. To je asi všechno, co o f v bodě -a
dokážeme hned ze začátku říci. Teď se podívejme
na tohle bláznivé tvrzení. 1 minus f v bodě -a,
to celé lomeno a. Co to vlastně je? Zkusme najít směrnici sečny,
která prochází těmito dvěma body, což je průměrná změna funkční
hodnoty mezi body [-a;f(-a)] a [0;1]. Pokud je tohle koncový bod,
tak změna y bude 1 minus f v bodě -a. 1 minus f v bodě -a je
tedy rovno změně y. Změna x, když jdeme z -a do 0,
se rovná 0 minus -a, což je a. Tento výraz je tudíž změna y dělená
změnou x mezi těmito dvěma body. Jde o průměrnou změnu funkční
hodnoty mezi těmito dvěma body. Je to tedy průměrná
změna funkční hodnoty, nebo můžeme říci, že je to směrnice sečny,
která by mohla vypadat nějak takhle. Tento výraz je tedy směrnice sečny,
která prochází body [-a;f(-a)] a [0;1]. Co můžeme o této
směrnici z grafu říci? Konkrétně, dokážeme tuto směrnici
nějak porovnat s 0, 1 nebo něčím podobným? Nejprve se zamysleme, jak by
vypadala přímka se směrnicí 1. Přímka se směrnicí 1, zvlášť taková, která
prochází tímto bodem, vypadá nějak takto. Přímka se směrnicí 1
vypadá nějak takhle. Tato přímka, která prochází body
[-1;0] a [0;1], má směrnici rovnou 1. Tato zelená přímka má směrnici 1, ale
modrá přímka má nejspíš jinou směrnici. Je tato modrá přímka strmější nebo
naopak méně strmá než zelená přímka? Jde docela dobře vidět, že tato
sečna je strmější než zelená přímka. Roste totiž rychleji, a tak
bude mít větší směrnici. Z grafu tak můžeme usoudit,
že směrnice modré přímky je větší než 1, neboli směrnice sečny procházející
body [-a;f(-a)] a [0;1] je větší než 1. Tento výraz je
tudíž větší než 1. Takže se
to podařilo vyřešit. Tento výraz je menší než 1,
zatímco druhý výraz je větší než 1, takže první výraz je menší než druhý,
a tak je toto tvrzení pravdivé. Teď se podívejme
na druhé tvrzení. Porovnáváme směrnici sečny,
kterou jsme se před chvílí zabývali. Porovnáváme tuto
směrnici, a to s čím? S ‚f‘ v bodě ‚a‘ minus 1,
to celé lomeno ‚a‘. To je směrnice této
sečny, kterou kreslím. Raději ji nakreslím oranžově,
aby byla lépe vidět. Jde tedy o směrnici
této sečny. Která sečna má
větší směrnici? Jde docela dobře vidět, že modrá sečna
má větší směrnici než oranžová sečna. Tvrzení ale říká, že směrnice modré sečny
je menší než směrnice oranžové sečny, tudíž tohle tvrzení
není pravdivé. Nyní poslední tvrzení. f v bodě a minus f v bodě -a,
to celé lomeno 2 krát a. Tohle je nyní směrnice sečny
procházející těmito dvěma body. Změna y je f v bodě a minus f v bodě -a,
změna x je a minus -a, což je 2 krát a, takže se jedná
o tuhle sečnu. Porovnáváme tedy směrnici
této sečny s touto směrnicí. f v bodě a minus 1, to je změna y,
to celé děleno a, což je změna x, takže porovnáváme
s touto směrnicí. Můžeme od oka odhadnout, že tato řekněme
hnědá sečna, která se táhne odsud až sem, je zřejmě strmější
než tato sečna. Víme, že průměrná změna
funkční hodnoty mezi těmito body je větší než průměrná změna
funkční hodnoty odsud sem, protože mezi ‚-a‘ a 0 rostla
hodnota y mnohem rychleji, načež její růst
takto zpomalil. Průměrná změna na celém intervalu tak bude
určitě větší než tahle změna od 0 do a. Toto tvrzení tak
rovněž není pravdivé. Tohle je větší, takže víme,
že to není pravda. Obě tato tvrzení by byla pravdivá,
kdybychom otočili znaménko nerovnosti, tedy kdyby tam bylo
znaménko „větší než“. Toto je tudíž jediné
pravdivé tvrzení.