Sečny: náročný příklad 1

Graf funkce f(x) prochází třemi body vyznačenými níže. Toto jsou tedy ty tři body a tato modrá křivka je graf funkce f(x). Určete, která tvrzení jsou pravdivá. Tady máme několik tvrzení, přičemž to první říká, že f v bodě -a je menší než 1 minus f v bodě -a, to celé lomeno a, což vypadá jako docela podivné tvrzení. Jak dokážeme určit, zda je to pravda, jen z toho, co máme? Postupujme hezky krok po kroku a uvidíme, jestli nám něco začne dávat smysl. Kde se na grafu nachází f v bodě -a? Toto je f v bodě -a. Je to bod x rovná se -a, takže tady bude -a, a zde bude y rovná se f v bodě -a. Při pohledu na graf dokážeme říci, že f v bodě -a je někde mezi 0 a 1, tedy 0 je menší než f v bodě -a, a to je menší než 1. To je asi všechno, co o f v bodě -a dokážeme hned ze začátku říci. Teď se podívejme na tohle bláznivé tvrzení. 1 minus f v bodě -a, to celé lomeno a. Co to vlastně je? Zkusme najít směrnici sečny, která prochází těmito dvěma body, což je průměrná změna funkční hodnoty mezi body [-a;f(-a)] a [0;1]. Pokud je tohle koncový bod, tak změna y bude 1 minus f v bodě -a. 1 minus f v bodě -a je tedy rovno změně y. Změna x, když jdeme z -a do 0, se rovná 0 minus -a, což je a. Tento výraz je tudíž změna y dělená změnou x mezi těmito dvěma body. Jde o průměrnou změnu funkční hodnoty mezi těmito dvěma body. Je to tedy průměrná změna funkční hodnoty, nebo můžeme říci, že je to směrnice sečny, která by mohla vypadat nějak takhle. Tento výraz je tedy směrnice sečny, která prochází body [-a;f(-a)] a [0;1]. Co můžeme o této směrnici z grafu říci? Konkrétně, dokážeme tuto směrnici nějak porovnat s 0, 1 nebo něčím podobným? Nejprve se zamysleme, jak by vypadala přímka se směrnicí 1. Přímka se směrnicí 1, zvlášť taková, která prochází tímto bodem, vypadá nějak takto. Přímka se směrnicí 1 vypadá nějak takhle. Tato přímka, která prochází body [-1;0] a [0;1], má směrnici rovnou 1. Tato zelená přímka má směrnici 1, ale modrá přímka má nejspíš jinou směrnici. Je tato modrá přímka strmější nebo naopak méně strmá než zelená přímka? Jde docela dobře vidět, že tato sečna je strmější než zelená přímka. Roste totiž rychleji, a tak bude mít větší směrnici. Z grafu tak můžeme usoudit, že směrnice modré přímky je větší než 1, neboli směrnice sečny procházející body [-a;f(-a)] a [0;1] je větší než 1. Tento výraz je tudíž větší než 1. Takže se to podařilo vyřešit. Tento výraz je menší než 1, zatímco druhý výraz je větší než 1, takže první výraz je menší než druhý, a tak je toto tvrzení pravdivé. Teď se podívejme na druhé tvrzení. Porovnáváme směrnici sečny, kterou jsme se před chvílí zabývali. Porovnáváme tuto směrnici, a to s čím? S ‚f‘ v bodě ‚a‘ minus 1, to celé lomeno ‚a‘. To je směrnice této sečny, kterou kreslím. Raději ji nakreslím oranžově, aby byla lépe vidět. Jde tedy o směrnici této sečny. Která sečna má větší směrnici? Jde docela dobře vidět, že modrá sečna má větší směrnici než oranžová sečna. Tvrzení ale říká, že směrnice modré sečny je menší než směrnice oranžové sečny, tudíž tohle tvrzení není pravdivé. Nyní poslední tvrzení. f v bodě a minus f v bodě -a, to celé lomeno 2 krát a. Tohle je nyní směrnice sečny procházející těmito dvěma body. Změna y je f v bodě a minus f v bodě -a, změna x je a minus -a, což je 2 krát a, takže se jedná o tuhle sečnu. Porovnáváme tedy směrnici této sečny s touto směrnicí. f v bodě a minus 1, to je změna y, to celé děleno a, což je změna x, takže porovnáváme s touto směrnicí. Můžeme od oka odhadnout, že tato řekněme hnědá sečna, která se táhne odsud až sem, je zřejmě strmější než tato sečna. Víme, že průměrná změna funkční hodnoty mezi těmito body je větší než průměrná změna funkční hodnoty odsud sem, protože mezi ‚-a‘ a 0 rostla hodnota y mnohem rychleji, načež její růst takto zpomalil. Průměrná změna na celém intervalu tak bude určitě větší než tahle změna od 0 do a. Toto tvrzení tak rovněž není pravdivé. Tohle je větší, takže víme, že to není pravda. Obě tato tvrzení by byla pravdivá, kdybychom otočili znaménko nerovnosti, tedy kdyby tam bylo znaménko „větší než“. Toto je tudíž jediné pravdivé tvrzení.