Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 2: Sečny- Směrnice sečny křivky
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body
- Sečny procházející obecně zadaným bodem
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny procházející obecně zadaným bodem (se zjednodušováním výrazů)
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny: náročný příklad 1
- Sečny: náročný příklad 2
Sečny procházející obecně zadaným bodem (se zjednodušováním výrazů)
Najdeme a zjednodušíme výraz pro směrnici sečny grafu funkce y=2x²+5x procházející body x=3 a x=t.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Sečna protíná graf funkce f(x) rovná se
x na druhou plus 5 krát x ve dvou bodech, jejichž x-ové souřadnice jsou
3 a t, přičemž t je různé od 3. Jaká je směrnice této
sečny v závislosti na t? Vaše odpověď musí být plně
roznásobená a zjednodušená. Předem se omlouvám, pokud
se budu zdát být trochu udýchaný, právě jsem totiž trochu cvičil,
abych rozproudil krev v žilách, a myslím, že pořád
trochu lapám po dechu. Chceme tedy najít
směrnici zadané sečny a v zadání nám v podstatě
dali dva body, které na ní leží. Řekli nám, jaké jsou x-ové
souřadnice těchto bodů, a když víme, jaká je souřadnice x těchto
bodů, umíme zjistit, čemu je rovno f(x). Můžeme si na to
připravit takovou tabulku. Známe x
a známe f(x). Když je x rovno 3,
čemu se rovná f(x)? Bude to 3 na druhou plus 5 krát 3,
což je 9 plus 15, a to je 24. Tohle se tedy
rovná 24. A když je x rovno t,
jaká je hodnota f v bodě t? To bude t na druhou
plus 5 krát t. Teď už máme dva body
ležící na naší přímce. Je to sečna, jež protíná graf
naší funkce v těchto dvou bodech, které na ní
tím pádem leží. Nyní zbývá jen zjistit, jaká je změna y
a změna x mezi těmito dvěma body, přičemž y se rovná f(x). Směrnice naší sečny je rovna
změně y dělené změnou x. Pokud se na tohle díváme
jako na koncový bod, bod s x-ovou souřadnicí
t je koncový bod, tak změna y je
tento výraz minus tohle, takže dostaneme t na druhou plus 5 krát t
minus 24 a ve jmenovateli bude koncová hodnota x minus
počáteční hodnota x je t minus 3. V zadání je, že odpověď musí být
plně roznásobená a zjednodušená, takže tohle lze možná
ještě zjednodušit. Dokážeme čitatele rozložit na součin tak,
aby v součinu bylo t minus 3? -3 krát 8 je -24
a -3 plus 8 je 5, takže tohle můžeme přepsat
jako (t plus 8) krát (t minus 3), a tak můžeme říci,
že tohle se rovná… Když pokrátíme (t minus 3), tedy čitatele
i jmenovatele vydělíme (t minus 3), tak se to bude
rovnat t plus 8. Pokud byste chtěli být
opravdu matematicky přesní, tak tento výraz není úplně stejný
jako náš původní výraz tady. V čem se liší? Jsou stejné pro
všechna t kromě t rovno 3. Tento výraz je definovaný pro t rovno 3,
po dosazení 3 za t se výraz rovná 11, ale výraz nahoře není
definovaný pro t rovno 3. Jste-li důkladní a chcete,
aby tyto dva výrazy byly to samé, musíte sem napsat:
„Pro t různé od 3.“ Teď už do tohoto výrazu můžeme dosazovat
přesně totéž, co do výrazu nahoře. V zadání už je ale řečeno „pro t různé
od 3,“ takže tohle je asi trochu zbytečné. Toto je tedy směrnice
zadané sečny v závislosti na t.