Sečny procházející obecně zadaným bodem (se zjednodušováním výrazů)

Sečna protíná graf funkce f(x) rovná se x na druhou plus 5 krát x ve dvou bodech, jejichž x-ové souřadnice jsou 3 a t, přičemž t je různé od 3. Jaká je směrnice této sečny v závislosti na t? Vaše odpověď musí být plně roznásobená a zjednodušená. Předem se omlouvám, pokud se budu zdát být trochu udýchaný, právě jsem totiž trochu cvičil, abych rozproudil krev v žilách, a myslím, že pořád trochu lapám po dechu. Chceme tedy najít směrnici zadané sečny a v zadání nám v podstatě dali dva body, které na ní leží. Řekli nám, jaké jsou x-ové souřadnice těchto bodů, a když víme, jaká je souřadnice x těchto bodů, umíme zjistit, čemu je rovno f(x). Můžeme si na to připravit takovou tabulku. Známe x a známe f(x). Když je x rovno 3, čemu se rovná f(x)? Bude to 3 na druhou plus 5 krát 3, což je 9 plus 15, a to je 24. Tohle se tedy rovná 24. A když je x rovno t, jaká je hodnota f v bodě t? To bude t na druhou plus 5 krát t. Teď už máme dva body ležící na naší přímce. Je to sečna, jež protíná graf naší funkce v těchto dvou bodech, které na ní tím pádem leží. Nyní zbývá jen zjistit, jaká je změna y a změna x mezi těmito dvěma body, přičemž y se rovná f(x). Směrnice naší sečny je rovna změně y dělené změnou x. Pokud se na tohle díváme jako na koncový bod, bod s x-ovou souřadnicí t je koncový bod, tak změna y je tento výraz minus tohle, takže dostaneme t na druhou plus 5 krát t minus 24 a ve jmenovateli bude koncová hodnota x minus počáteční hodnota x je t minus 3. V zadání je, že odpověď musí být plně roznásobená a zjednodušená, takže tohle lze možná ještě zjednodušit. Dokážeme čitatele rozložit na součin tak, aby v součinu bylo t minus 3? -3 krát 8 je -24 a -3 plus 8 je 5, takže tohle můžeme přepsat jako (t plus 8) krát (t minus 3), a tak můžeme říci, že tohle se rovná… Když pokrátíme (t minus 3), tedy čitatele i jmenovatele vydělíme (t minus 3), tak se to bude rovnat t plus 8. Pokud byste chtěli být opravdu matematicky přesní, tak tento výraz není úplně stejný jako náš původní výraz tady. V čem se liší? Jsou stejné pro všechna t kromě t rovno 3. Tento výraz je definovaný pro t rovno 3, po dosazení 3 za t se výraz rovná 11, ale výraz nahoře není definovaný pro t rovno 3. Jste-li důkladní a chcete, aby tyto dva výrazy byly to samé, musíte sem napsat: „Pro t různé od 3.“ Teď už do tohoto výrazu můžeme dosazovat přesně totéž, co do výrazu nahoře. V zadání už je ale řečeno „pro t různé od 3,“ takže tohle je asi trochu zbytečné. Toto je tedy směrnice zadané sečny v závislosti na t.