Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 2: Sečny- Směrnice sečny křivky
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body
- Sečny procházející obecně zadaným bodem
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body
- Sečny s obecně daným rozdílem mezi body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny procházející obecně zadaným bodem (se zjednodušováním výrazů)
- Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce s obecně danými body (a se zjednodušováním výrazů)
- Sečny: náročný příklad 1
- Sečny: náročný příklad 2
Sečny: náročný příklad 2
Ukážeme si, jak lze na algebraický výraz nahlížet jako na směrnici sečny spojující daný bod na grafu s libovolným jiným bodem na tomto grafu. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zjistit, ve kterých bodech na grafu
je f(x) krát derivace f v bodě x rovno 0. Když máme součin dvou
výrazů, který je roven 0, tak to znamená, že alespoň
jeden z výrazů musí být roven 0. Nejprve se podívejme, zda najdeme
nějaké body, v nichž je f(x) rovno 0. Hodnoty f(x) jsou
na svislé ose. Tento graf bychom si mohli
označit jako y rovná se f(x). Je v nějakém bodě této
křivky hodnota y rovna 0? Hodnota y je kladná, kladná,
kladná, ale tady klesá. Nejdřív tady klesá, potom roste
a následně zase klesá, V tomto bodě se nakonec
hodnota y dostane do 0, ale to není žádný
z vyznačených bodů. My máme vybrat jeden, nebo možná
dokonce více vyznačených bodů. Zaměříme se tedy na to,
kdy se první derivace f rovná 0. Připomeňme si, co první derivace
funkce f vůbec představuje. První derivace f představuje
směrnici tečny v daném bodě x. Například první derivace f v bodě 0,
což je x-ová souřadnice tohoto bodu, se bude rovnat nějakému
zápornému číslu. Je to směrnice
příslušné tečny. Podobně první derivace f v bodě
x rovno 4, což je přesně tento bod, to je směrnice tečny a to
bude nějaké kladné číslo. Když se teď podíváme na vyznačené body,
ve kterých je směrnice tečny rovna 0? Jak vypadá
směrnice rovná 0? Takovou směrnici má
vodorovná přímka. Kde tedy bude
tečna vodorovná? Mě napadá jen bod B. Vypadá to, že tečna v tomto
bodě je skutečně vodorovná. Také se na to
můžete dívat tak, že okamžitá změna hodnoty naší funkce
v bodě x rovno 2 vypadá, že je blízko k… Toto je bod x rovno 2. Vypadá, že je blízko 0. Ze všech možností bych řekl,
že jedině v bodě B to vypadá, že derivace v bodě x rovno 2, neboli
směrnice tečny v bodě B, je rovna 0, takže sem napíšu B. Potom tu máme tento divný výraz
f v bodě x minus 6, to celé lomeno x. Kdy tento výraz
nabývá největší hodnotu? Musíme si rozmyslet, co f v bodě x
minus 6, to celé lomeno x, znamená. Kdykoliv vidím takový výraz, obzvlášť když
je to v kurzu diferenciálního počtu, tak si řeknu, že to docela
vypadá jako směrnice sečny. Vždyť o derivacích vlastně víme jen to,
že je třeba najít limitu směrnice sečny. Toto vypadá podobně, zejména když bude
y-ová souřadnice nějakého bodu rovna 6. Tohle by totiž mohla být změna y, a kdyby
byla x-ová souřadnice toho bodu rovna 0, tak bych měl f v bodě x minus 6,
to celé lomeno x minus 0. Leží bod [0;6]
na naší křivce? Ano, protože když je x rovno 0,
vidíme, že f(x) se rovná 6. Tento výraz si
teď přepíšu. Můžeme ho přepsat jako f v bodě x minus 6,
to celé lomeno x minus 0. Co tento výraz
představuje? Toto se rovná směrnici sečny
procházející body [x;f(x)] a [0;f(0)]. Tak to můžeme napsat, protože
víme, že f v bodě 0 je rovno 6. Tohle se rovná
f v bodě 0. Vlastně to raději
přepíšu na bod [0;6]. Podívejme se teď na každý
z vyznačených bodů a na to, jaká je směrnice sečny procházející vždy
jedním z těchto bodů a bodem A. Tento výraz je vlastně směrnice sečny, jež
prochází daným bodem [x;f(x)] a bodem A. Tak si to nakresleme. Sečna procházející body A a B
má poměrně zápornou směrnici. Nezapomeňme, že chceme
najít největší směrnici. Tato směrnice je
poměrně záporná. Sečna mezi A a C má
méně zápornou směrnici. Sečna mezi A a D má ještě
méně zápornou směrnici. Směrnice je stále záporná,
ale už méně záporná. Směrnice sečny mezi A a E
je teď zase zápornější a směrnice sečny mezi A a F
je ještě víc záporná. Takže kdy je směrnice sečny procházející
jedním z těchto bodů a bodem A největší? Nebo bychom mohli říct „nejméně záporná“,
protože všechny směrnice jsou záporné. To bude směrnice
sečny mezi body D a A. Takže kdy nabývá tento
výraz největší hodnotu? V bodě D, tedy v bodě, kde je
x rovno 6 a f(x) je něco jako 5,5. Tenhle výraz tak bude f v bodě 6,
což je 5,5 nebo možná ještě méně, třeba 5 a jedna
třetina nebo tak, minus 6, to celé
lomeno 6 minus 0. To je maximum tohoto výrazu, je to nejméně
záporná směrnice ze všech sečen.