Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 9: Derivace funkcí cos(x), sin(x), 𝑒ˣ a ln(x)Příklad: derivace sin(x) a cos(x)
Zderivujeme g(x)=7sin(x)-3cos(x)-(π/∛x)². Derivaci získáme s pomocí pravidel pro derivování sinu, kosinu a derivaci mocninné funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se budeme věnovat
derivaci této funkce g, což může zpočátku
vypadat složitě. Máme zde sinus x
a kosinus x. Potom zde vidíte tento
zlomek, v čitateli máme pí a dole třetí odmocninu z x,
to celé na druhou. Na první pohled
to vypadá náročně. V tomto videu nakonec zjistíte, že tuto
funkci lze zderivovat pomocí vědomostí, které již máte. Využijeme vzorec
na derivaci mocniny. To nám říká, že pokud
máme x na n, potom derivace je n krát x
na n minus 1. Také můžeme využít další
vlastnosti, které už víme, a to, že derivace
cos(x) je -sin(x). A opačně, derivace
sin(x) je cos(x). Pomocí těchto znalostí již dokážeme
derivaci této funkce spočítat. Můžete si pozastavit video
a vyzkoušet si to sami. Pravděpodobně
nejtěžší část, jelikož derivaci sin(x)
a cos(x) již známe, je tento
zlomek. Můžeme ho přepsat, a tím trochu
zjednodušit, ať se nám s ním lépe počítá. Tedy pí lomeno třetí odmocnina z x
to celé na druhou. Je to to samé jako pí na druhou
lomeno třetí odmocnina z x na druhou Jde pouze o
vlastnost mocniny. Je to tedy
to samé. Dalším krokem bude zjednodušení
třetí odmocniny z x. Je to to samé jako pí na druhou
lomeno x na 1/3, to celé na druhou. Znovu můžeme přepsat
jako pí na druhou lomeno x na 2/3, což je to samé jako pí na
druhou krát x na -2/3. Nyní již
dostáváme tvar, na který můžeme použít
vzorec na derivaci mocniny. Toto je tedy pí na druhou
krát x na -2/3. Náš pomocný
výpočet smažu. Zlomek tedy můžeme přepsat jako
pí na druhou krát x na -2/3. Nyní tedy zderivujme postupně
všechny části této funkce. Chceme zjistit, čemu se rovná
derivace funkce g(x). Nejprve si zderivujeme
7 krát sin(x). Můžeme si na obou stranách
zapsat diferenciální operátor, aby bylo srozumitelnější,
co budeme dělat. Tato derivace je tedy to samé,
jako 7 krát derivace sin(x). Je to tedy
7 krát cos(x). Z druhého výrazu 3 krát cos(x)
můžeme vytknout číslo 3. Derivujeme tedy
výraz cos(x). Je to tedy -3
krát -sin(x), jelikož derivace cos(x)
je -sin(x). A konečně u tohoto žlutého výrazu
použijeme vzorec na derivaci mocniny. Máme tedy -2/3… Nesmíme zapomenout
zde na toto minus. Tedy máme -2/3. Vynásobíme mocninu
koeficientem. Pí na druhou může být matoucí,
ovšem je to pouze číslo. Napíšeme tedy minus a poté
-2/3 krát pí na druhou. To celé krát x
na -2/3 minus 1. Jaký bude
výsledek? Máme derivaci g(x),
která se rovná: 7 krát cos(x), a tady
máme -3 krát -sin(x). To je plus 3
krát sin(x). Potom zde máme
opět dvakrát minus, proto to ve
výsledku bude plus. Můžeme tedy napsat
plus (2 krát pí na druhou) lomeno 3. To je tato
část zde. Krát x na -2/3 minus 1,
což je -1 a 2/3. Nebo to můžeme
zapsat jako -5/3. Hotovo! Zvládli jsme to, i když
to vypadalo obtížně. Použili jsme pouze
vzorec na derivaci mocniny a to, co jsme již věděli o
derivacích sin(x) a cos(x).