Příklad: derivace sin(x) a cos(x)

V tomto videu se budeme věnovat derivaci této funkce g, což může zpočátku vypadat složitě. Máme zde sinus x a kosinus x. Potom zde vidíte tento zlomek, v čitateli máme pí a dole třetí odmocninu z x, to celé na druhou. Na první pohled to vypadá náročně. V tomto videu nakonec zjistíte, že tuto funkci lze zderivovat pomocí vědomostí, které již máte. Využijeme vzorec na derivaci mocniny. To nám říká, že pokud máme x na n, potom derivace je n krát x na n minus 1. Také můžeme využít další vlastnosti, které už víme, a to, že derivace cos(x) je -sin(x). A opačně, derivace sin(x) je cos(x). Pomocí těchto znalostí již dokážeme derivaci této funkce spočítat. Můžete si pozastavit video a vyzkoušet si to sami. Pravděpodobně nejtěžší část, jelikož derivaci sin(x) a cos(x) již známe, je tento zlomek. Můžeme ho přepsat, a tím trochu zjednodušit, ať se nám s ním lépe počítá. Tedy pí lomeno třetí odmocnina z x to celé na druhou. Je to to samé jako pí na druhou lomeno třetí odmocnina z x na druhou Jde pouze o vlastnost mocniny. Je to tedy to samé. Dalším krokem bude zjednodušení třetí odmocniny z x. Je to to samé jako pí na druhou lomeno x na 1/3, to celé na druhou. Znovu můžeme přepsat jako pí na druhou lomeno x na 2/3, což je to samé jako pí na druhou krát x na -2/3. Nyní již dostáváme tvar, na který můžeme použít vzorec na derivaci mocniny. Toto je tedy pí na druhou krát x na -2/3. Náš pomocný výpočet smažu. Zlomek tedy můžeme přepsat jako pí na druhou krát x na -2/3. Nyní tedy zderivujme postupně všechny části této funkce. Chceme zjistit, čemu se rovná derivace funkce g(x). Nejprve si zderivujeme 7 krát sin(x). Můžeme si na obou stranách zapsat diferenciální operátor, aby bylo srozumitelnější, co budeme dělat. Tato derivace je tedy to samé, jako 7 krát derivace sin(x). Je to tedy 7 krát cos(x). Z druhého výrazu 3 krát cos(x) můžeme vytknout číslo 3. Derivujeme tedy výraz cos(x). Je to tedy -3 krát -sin(x), jelikož derivace cos(x) je -sin(x). A konečně u tohoto žlutého výrazu použijeme vzorec na derivaci mocniny. Máme tedy -2/3… Nesmíme zapomenout zde na toto minus. Tedy máme -2/3. Vynásobíme mocninu koeficientem. Pí na druhou může být matoucí, ovšem je to pouze číslo. Napíšeme tedy minus a poté -2/3 krát pí na druhou. To celé krát x na -2/3 minus 1. Jaký bude výsledek? Máme derivaci g(x), která se rovná: 7 krát cos(x), a tady máme -3 krát -sin(x). To je plus 3 krát sin(x). Potom zde máme opět dvakrát minus, proto to ve výsledku bude plus. Můžeme tedy napsat plus (2 krát pí na druhou) lomeno 3. To je tato část zde. Krát x na -2/3 minus 1, což je -1 a 2/3. Nebo to můžeme zapsat jako -5/3. Hotovo! Zvládli jsme to, i když to vypadalo obtížně. Použili jsme pouze vzorec na derivaci mocniny a to, co jsme již věděli o derivacích sin(x) a cos(x).