Derivace 𝑒ˣ

Napravo máme graf funkce y rovná se e na x. Na konci tohoto videa budete znát jednu z nejzajímavějších věcí z analýzy. Opět nám to ukáže, jak magické číslo e je. Provedeme trochu zkoumání. Zvolme si nějaký bod na křivce y rovná se e na x. A odhadněme, jak velký sklon bude mít tečna v tomto bodě. Neboli jaká bude derivace v daném bodě. Například pro y je 1, pak x bude rovno 0, a sklon tečny bude roven 1. Což je zajímavé, jelikož je roven hodnotě funkce v daném bodě. Co když e na x je rovno 2. Zvolme jinou barvu. Pak sklon tečny bude vypadat velmi podobně jako 2. Co když e na x je rovno jedné polovině? Pak sklon tečny bude vypadat jako jedna polovina. Můžeme zkusit třeba e na x rovno 5. Pak sklon tečny bude vypadat jako 5. Nevypadá to, že sklon tečny e na x je roven e na x? Ano, je to skutečně tak, jedná se o úžasnou vlastnost čísla e. Tedy, že funkce f(x) rovna e na x se rovná své derivaci. Jinak řečeno: derivace e na x podle x je e na x. V předchozích videích jste se naučili různé definice čísla e. A toto může být nový způsob. e je takové číslo, že když vezmeme jeho mocninu na x a definujeme tento výraz jako funkci, pak její derivace je stejná funkce. Zde se díváme na křivku. Tato křivka má y-ové hodnoty stejné jako sklon tečny v daném bodě. Pokud vám to nepřijde dosti úžasné, tak věřte, že bude. Třeba se vzbudíte dnes o půlnoci a uvědomíte si, jak to je skvělé. Můžete namítnout: jak vím, že to je pravda? V jiném videu si ukážeme důkaz.