Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2

Lekce 9: Derivace funkcí cos(x), sin(x), 𝑒ˣ a ln(x)

Nalezení derivací pro sin(x) a cos(x)

Ukážeme si, že derivace sin(x) a cos(x) jsou postupně funkce cos(x) a -sin(x).

Goniometrické funkce sine, left parenthesis, x, right parenthesis a cosine, left parenthesis, x, right parenthesis hrají v diferenciálním počtu důležitou roli. Jejich derivace vypadají takto:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[\sin(x)]&=\cos(x) \\\\ \dfrac{d}{dx}[\cos(x)]&=-\sin(x) \end{aligned}

Ke zvládnutí tohoto kurzu není znalost těchto důkazů nezbytná, avšak věříme, že jejich pochopení může být poučné. K úplnému pochopení problematiky je vždy důležité umět odůvodnit platnost tvrzení, která při výpočtech používáme.

Nejprve si vypočítáme dvě limity, které budeme pro důkazy potřebovat.

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

Khan Academy video

Limit of sin(x)/x as x approaches 0Zobrazit přepis videa

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Khan Academy video

Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Zobrazit přepis videa

Teď už máme vše potřebné k tomu, abychom dokázali, že derivace sine, left parenthesis, x, right parenthesis je rovna cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Khan Academy video

Proof of the derivative of sin(x)Zobrazit přepis videa

Dokázali jsme, že derivace sine, left parenthesis, x, right parenthesis je opravdu cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, což nyní můžeme použít k důkazu toho, že derivace cosine, left parenthesis, x, right parenthesis je minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Khan Academy video

Proof of the derivative of cos(x)Zobrazit přepis videa

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2

Nejprve si vypočítáme dvě limity, které budeme pro důkazy potřebovat.

1. lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1x→0lim​xsin(x)​=1limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}=0x→0lim​x1−cos(x)​=0limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Teď už máme vše potřebné k tomu, abychom dokázali, že derivace sin⁡(x)\sin(x)sin(x)sine, left parenthesis, x, right parenthesis je rovna cos⁡(x)\cos(x)cos(x)cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Chceš se zapojit do diskuze?

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Teď už máme vše potřebné k tomu, abychom dokázali, že derivace sine, left parenthesis, x, right parenthesis je rovna cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.