Odhadování hodnot derivací

Jak jsme si řekli, tato tabulka zobrazuje diferencovatelnou funkci f. Tabulka tedy udává hodnoty funkce pro několik hodnot x. Konkrétně 5 různých hodnot x a zobrazuje odpovídající funkční hodnotu f(x). A oni se ptají, jaký je nejlepší odhad pro derivaci f(4)? Toto je tedy derivace naší funkce f, kde x je rovno 4. Nebo jinak, jaký je sklon tečny, když x je rovno 4 pro f(x)? Jaký je tedy nejlepší odhad pro derivaci f(4), jenž můžeme udělat na základě této tabulky? Pojďme si nejdříve ukázat o co jde, než se vůbec podíváme na možnosti. Nakreslím sem osy souřadnic. A zobrazím tyto body. Víme, že tyto body budou na křivce y=f(x). Když x je rovno 0, f(x) je 72. Takže toto je bod [0;72]. Toto je [3;95]. Očividně dvě různé hodnoty pro osy x a y. Toto je bod [5;112]. Toto je [6;77] a toto je [9;54]. Ještě popíšu toto. Zde je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 a 10. Nyní, chtějí vědět jaká je derivace naší funkce, když f je rovno 4. Nicméně neřekli nám ani to, jaká je hodnota f v bodě 4. Nevíme, kde tento bod je. To, o co se musíme snažit, je vytvořit náš nejlepší odhad. S využitím těchto bodů ani nevíme, jak přesně křivka vypadá. Může vypadat úplně různě. Mohli bychom se pokusit vytvořit zde rozumně hladkou křivku. Křivka by mohla vypadat takto. Ale mohla by být divočejší. Mohla by se chovat nějak takto. No, ještě jednou... Mohla by vypadat nějak takto. Takže s jistotou nevíme, jak vypadá. Jediné, co víme je, že musí procházet těmito body. Protože to jsou hodnoty funkce v těchto bodech. Nechte mě, jen pro tento příklad, uvažovat to nejjednodušší. Řekněme, že křivka je krásně hladká, bez přílišného kroucení a skákání, a že prochází těmito body. Takže na co se ptají je, když x je rovno 4, pokud by tato žlutá křivka byla vážně naší křivkou, jaký je potom sklon tečny v tomto bodě? Takže bychom si představovali toto. Teď aby to bylo jasné. Tato tečna, kterou jsou zrovna nakreslil, ta by byla pro verzi naší funkce. Pro tu, kterou jsem nakreslil, procházející těmito body. To nemusí být naše skutečná funkce. Víme, že naše skutečná funkce musí procházet těmito body. Toto dělám jen pro ukázku. Celá idea tohoto je, že vše co máme, je vzorek a my se snažíme najít nejlepší odhad. My ani nevíme, jestli to bude dobrý odhad. Bude to prostě náš nejlepší odhad. Takže to, co obecně děláme, když máme jen nějaká data v okolí bodu je, že použijme data, která jsou tomuto bodu nejblíže a najdeme sklony sečen v blízkosti tohoto bodu. A to nám dá náš nejlepší odhad sklonu tečny. Takže, jaké body máme nejblíže f(4) nebo nejblíže bodu [4;f(4)]? Ok, dali nám hodnotu funkce f, kde x je rovno 3. Zadali nám přesně tento bod. Vyznačím to jinou barvou. Tedy bod [3;95], který je tady. A také nám zadali bod [5;112]. To je tento bod. To, co bychom mohli udělat je, říci, jaká je průměrná hodnota změny mezi těmito dvěma body? Jiný způsob, jak se o tom dá přemýšlet je, jaký je sklon sečny mezi těmito dvěma body. A to by byl náš nejlepší odhad skonu tečny pro x rovno 4. Víme, zda je to dobrý odhad? Víme, jestli je vůbec blízko? Ne, s jistotou to nevíme, ale bude to náš nejlepší odhad. Bude to lepší než zkoušet použít změny mezi x rovno 3 a x rovno 6. Nebo mezi x rovno 0 a x rovno 9. Tyto body jsou velmi blízko 4. Tak to pojďme udělat. Pojďme najít průměrnou hodnotu změny pro x nabývající hodnot 3 a 5. Zde můžeme vidět naši změnu v x. Vyznačím to jinou barvou. Tedy naše změna x jde zde rovna plus 2. A mohu to nakreslit. Moje změna x je zde plus 2. A moje změna y bude... Když se mé x zvýšilo o 2, změna y je plus, koukejte, když přidám 10 dostanu 105. Když přidám dalších 7, dostávám plus 17. Takže tady vidíme plus 17. Plus 17. Tedy má změna y vzhledem ke změně x. Změna y, vzhledem ke změně x. Pro tuto sečnu mezi hodnotami, kde x je rovno 3 a x je rovno 5 bude rovna 17 lomeno 2. 17 děleno 2. A to se rovná 8,5. Takže sklon této zelené přímky je 8,5. A to je náš nejlepší odhad sklonu tečny, kde x je rovno 4, křivky y je rovno f(x). A tedy, dobře pro nás, lidé, kteří psali tuto otázku uvažovali stejně a udělali to právě zde. Nebudete to tedy muset kreslit, tak jako já. Udělala jsem to jen proto, abychom si to byli schopni představit. Obecně, když vidíte otázku tohoto typu, oni vlastně říkají, podívejte se, nemáte všechna data, která potřebujete, abyste našli přesně f '(4). Ale můžete najít blízké body v okolí f' (4) a najít přímku průměrných hodnot sklonu sečny. Nebo průměrnou hodnotu změny mezi těmito body. To je náš nejlepší odhad pro okamžitou změnu, kde x je rovno 4. Nebo derivaci, kde x je rovno 4.