Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 4: Odhadování hodnot derivacíOdhadování hodnot derivací
Odhadneme hodnotu derivace v bodě za využití sklonu sečen spojujících daný bod s body okolo.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Jak jsme si řekli, tato tabulka zobrazuje
diferencovatelnou funkci f. Tabulka tedy udává hodnoty
funkce pro několik hodnot x. Konkrétně 5
různých hodnot x a zobrazuje odpovídající
funkční hodnotu f(x). A oni se ptají, jaký je nejlepší
odhad pro derivaci f(4)? Toto je tedy derivace naší
funkce f, kde x je rovno 4. Nebo jinak, jaký je sklon tečny,
když x je rovno 4 pro f(x)? Jaký je tedy nejlepší
odhad pro derivaci f(4), jenž můžeme udělat
na základě této tabulky? Pojďme si nejdříve ukázat o co jde,
než se vůbec podíváme na možnosti. Nakreslím sem osy souřadnic.
A zobrazím tyto body. Víme, že tyto body budou
na křivce y=f(x). Když x je rovno 0,
f(x) je 72. Takže toto je bod [0;72].
Toto je [3;95]. Očividně dvě různé hodnoty
pro osy x a y. Toto je bod [5;112]. Toto je [6;77]
a toto je [9;54]. Ještě popíšu toto.
Zde je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
9 a 10. Nyní, chtějí vědět jaká je derivace naší funkce,
když f je rovno 4. Nicméně neřekli nám ani to,
jaká je hodnota f v bodě 4. Nevíme, kde tento bod je. To, o co se musíme snažit,
je vytvořit náš nejlepší odhad. S využitím těchto bodů ani nevíme,
jak přesně křivka vypadá. Může vypadat
úplně různě. Mohli bychom se pokusit vytvořit zde
rozumně hladkou křivku. Křivka by mohla
vypadat takto. Ale mohla by být divočejší.
Mohla by se chovat nějak takto. No, ještě jednou... Mohla by vypadat
nějak takto. Takže s jistotou nevíme,
jak vypadá. Jediné, co víme je,
že musí procházet těmito body. Protože to jsou hodnoty funkce
v těchto bodech. Nechte mě,
jen pro tento příklad, uvažovat to
nejjednodušší. Řekněme, že křivka
je krásně hladká, bez přílišného kroucení a skákání,
a že prochází těmito body. Takže na co se ptají je,
když x je rovno 4, pokud by tato žlutá křivka
byla vážně naší křivkou, jaký je potom sklon
tečny v tomto bodě? Takže bychom si
představovali toto. Teď aby to bylo jasné. Tato tečna,
kterou jsou zrovna nakreslil, ta by byla pro verzi naší funkce. Pro tu, kterou jsem nakreslil,
procházející těmito body. To nemusí být
naše skutečná funkce. Víme, že naše skutečná funkce
musí procházet těmito body. Toto dělám jen
pro ukázku. Celá idea tohoto je,
že vše co máme, je vzorek a my se snažíme
najít nejlepší odhad. My ani nevíme,
jestli to bude dobrý odhad. Bude to prostě
náš nejlepší odhad. Takže to,
co obecně děláme, když máme jen nějaká data
v okolí bodu je, že použijme data,
která jsou tomuto bodu nejblíže a najdeme sklony sečen
v blízkosti tohoto bodu. A to nám dá náš nejlepší odhad
sklonu tečny. Takže, jaké body
máme nejblíže f(4) nebo nejblíže
bodu [4;f(4)]? Ok, dali nám hodnotu funkce f,
kde x je rovno 3. Zadali nám přesně tento bod.
Vyznačím to jinou barvou. Tedy bod [3;95],
který je tady. A také nám zadali bod [5;112].
To je tento bod. To, co bychom
mohli udělat je, říci, jaká je průměrná hodnota změny
mezi těmito dvěma body? Jiný způsob,
jak se o tom dá přemýšlet je, jaký je sklon sečny
mezi těmito dvěma body. A to by byl náš nejlepší odhad
skonu tečny pro x rovno 4. Víme, zda je to dobrý odhad?
Víme, jestli je vůbec blízko? Ne, s jistotou to nevíme,
ale bude to náš nejlepší odhad. Bude to lepší než zkoušet
použít změny mezi x rovno 3
a x rovno 6. Nebo mezi x rovno 0
a x rovno 9. Tyto body jsou velmi blízko 4.
Tak to pojďme udělat. Pojďme najít průměrnou hodnotu změny
pro x nabývající hodnot 3 a 5. Zde můžeme vidět
naši změnu v x. Vyznačím to
jinou barvou. Tedy naše změna x
jde zde rovna plus 2. A mohu to nakreslit. Moje změna x
je zde plus 2. A moje změna y
bude... Když se mé x zvýšilo o 2,
změna y je plus, koukejte, když přidám 10
dostanu 105. Když přidám dalších 7,
dostávám plus 17. Takže tady vidíme plus 17.
Plus 17. Tedy má změna y
vzhledem ke změně x. Změna y,
vzhledem ke změně x. Pro tuto sečnu mezi hodnotami,
kde x je rovno 3 a x je rovno 5
bude rovna 17 lomeno 2. 17 děleno 2.
A to se rovná 8,5. Takže sklon této
zelené přímky je 8,5. A to je náš nejlepší odhad
sklonu tečny, kde x je rovno 4,
křivky y je rovno f(x). A tedy, dobře pro nás,
lidé, kteří psali tuto otázku uvažovali stejně a
udělali to právě zde. Nebudete to tedy muset kreslit,
tak jako já. Udělala jsem to jen proto,
abychom si to byli schopni představit. Obecně, když vidíte otázku
tohoto typu, oni vlastně říkají,
podívejte se, nemáte všechna data, která potřebujete,
abyste našli přesně f '(4). Ale můžete najít blízké
body v okolí f' (4) a najít přímku průměrných hodnot
sklonu sečny. Nebo průměrnou hodnotu změny
mezi těmito body. To je náš nejlepší odhad
pro okamžitou změnu, kde x je rovno 4.
Nebo derivaci, kde x je rovno 4.