Diferencovatelnost a spojitost

V tomto videu si představíme koncept diferencovatelnosti v určitém bodě funkce. Diferencovatelnost znamená, jestli funkce má v daném bodě derivaci. Připomeňme si definici derivace. Lze ji zapsat několika způsoby. Pro naše účely napíšu, že derivace funkce v bodě c… Tohle je Lagrangeův způsob zápisu, f s čarou. Je rovna limitě pro x jdoucí k c z f(x) minus f(c) lomeno x minus c. Tuhle rovnici nevidíme poprvé. Přestože zprvu může působit zvláštně, je to jen výpočet směrnice funkce. Dělíme změnu y v čitateli změnou x v jmenovateli. Snažíme se určit směrnici, když se změna x blíží k 0, neboli když se x blíží k c. Tomu jsme se věnovali v minulých videích. Začneme s několika výroky. Nebudu je dnes zevrubně dokazovat, to necháme na jindy. Dnes chceme jen získat určitý náhled. Zaprvé, pokud je funkce f v bodě x rovno c diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá. Takže pokud v bodě x rovno c existuje tato limita, funkce je v tomto bodě spojitá. Tahle implikace nefunguje obráceně, funkce může být spojitá, ale ne diferencovatelná, později si ukážeme příklad takové funkce. Každopádně, pokud funkce není v bodě spojitá, rozhodně není diferencovatelná. Jestliže f v bodě x rovno c není spojitá, pak v tomto bodě f není diferencovatelná. Uvedeme si pár příkladů nespojité funkce, zamyslete se, zda u nich lze najít limitu. První příklad je tato nespojitá funkce. Funkce má v bodě ‚c‘ určitou hodnotu, ale pro x větší než ‚c‘ hodnota skočí dolů. Takže co by se stalo, kdybychom se pokusili najít tuhle limitu? Tenhle vzorec vyjadřuje směrnici úsečky určené libovolným bodem x a bodem c. x si zvolíme třeba tady, takže tady leží bod [x;f(x)], A tady je bod [c;f(c)]. Když budeme hledat limitu pro hodnoty zleva, dostaneme tuto úsečku. Když se pak přiblížíme k ‚c‘, dostaneme tuto úsečku. A pak ještě blíž, dostaneme tuto úsečku. Směrnice ve všech třech případech bude 0. Takže zleva se limita zdánlivě blíží 0. Zkusme teď najít limitu zprava, zvolíme si x někde tady. Směrnice úsečky s bodem [x;f(x)] se rovná f(x) minus f(c), to celé lomeno x minus c. To by byla směrnice této úsečky. Pokud se s x přiblížíme k ‚c‘, třeba sem, dostaneme směrnici téhle úsečky. Pokud se ještě přiblížíme, dostaneme směrnici této úsečky. Takže čím blíž jsme k bodu x rovno c, tím blíž jsme zápornému nekonečnu. Ale především, blížíme se zprava úplně jiné hodnotě než zleva. Proto v tomto bodě tato limita neexistuje, funkce v tomto bodě není diferencovatelná. Raději zopakuji, že tohle není důkaz. Jen tu můžeme jasně vidět, proč nespojitá funkce bude zároveň i nediferencovatelná. Ukážeme si další příklad. V téhle funkci máme takzvanou odstranitelnou nespojitost. Znovu se začneme k c blížit zleva, přičemž tady leží bod [x;f(x)]. A tímto vzorcem bychom spočítali směrnici úsečky určené body [x;f(x)] a [c;f(c)]. Ten je ale tady dole, funkce je nespojitá, takže bychom dostali směrnici této úsečky. Když se s x přiblížíme k ‚c‘, dostaneme směrnici téhle úsečky. Když půjdeme ještě blíž, dostaneme směrnici této úsečky. Takže když se x blíží k ‚c‘ zleva, zase se směrnice blíží zápornému nekonečnu. A když se budeme blížit naopak zprava, tady bude bod [x;f(x)]. Směrnice této úsečky je kladná, navíc se zvětšuje s tím, jak se blížíme k ‚c‘, a dostáváme se ke kladnému nekonečnu. Každopádně se neblížíme konkrétní hodnotě. Zleva se blížíme zápornému nekonečnu, zprava se blížíme kladnému nekonečnu. Tato limita taky nebude existovat. Znovu, toto není důkaz, ale zkuste přijít s nespojitou funkci, kde limitu najdete. Je to opravdu těžké. A možná si říkáte, co funkce, kde f(c) ani není definované. Taková funkce je potom určitě nespojitá. Navíc, pokud c není definováno, pak tato část vzorce nedává žádný smysl. Taková funkce je taky nediferencovatelná. Teď se však zaměřme na něco jiného. Uvedl jsem pár argumentů, proč nespojitá funkce nutně bude i nediferencovatelná. Teď si ukážeme, jestli spojitá funkce musí naopak být nutně i diferencovatelná. Inu, existuje nekonečně mnoho funkcí, které sice jsou v bodě c spojité, ale nejsou v bodě c diferencovatelné, například funkce s absolutní hodnotou. Tohle je funkce y rovná se absolutní hodnotě x minus c. Proč tato funkce v bodě c není diferencovatelná? Musíme si uvědomit, že tento výraz udává směrnici mezi body [x;f(x)] a [c;f(c)]. Takže pokud tady vlevo je [x;f(x)], ze vzorce dostaneme směrnici této úsečky. A když se přiblížíme k ‚c‘, dostaneme směrnici této úsečky, která bude stejná. Směrnice této funkce bude -1 pro x blížící se c od hodnot menších než c, tedy zleva. Ale pro x blížící se c zprava bude vzorec mít hodnotu 1. Směrnice úsečky bude 1. Takže tento vzorec nám dává dvě různé hodnoty, když se x blíží c zleva a zprava. Zleva se směrnice blíží -1, zprava 1. V takovém případě limita neexistuje. Tato funkce v bodě c není diferencovatelná. Dává to smysl, protože derivace je vlastně směrnice tečny, těch je v ‚c‘ nekonečno. Tečna by mohla klidně vést třeba tudy. Ale klidně i tudy, tato přímka se také dotýká grafu funkce jen v bodě c. Můžu jich tu nakreslit nekonečně mnoho. Nejdůležitější myšlenka, kterou jsme si dnes nastínili a příště ji dokážeme, zní: pokud je f v bodě c diferencovatelná, pak je v tomto bodě nutně i spojitá. Což znamená, že pokud f v bodě c spojitá není, není v bodě c ani diferencovatelná. Snad vám tyto dva příklady pomohly si to představit. To, že f je v bodě c spojitá, však nutně neznamená, že je tu i diferencovatelná. Často to bude platit, ale ne vždycky. Třeba tato funkce s absolutní hodnotou je v bodě c spojitá, ale nediferencovatelná.