Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 5: Diferencovatelnost- Diferencovatelnost a spojitost
- Diferencovatelnost v bodě graficky
- Diferencovatelnost v bodě graficky
- Diferencovatelnost v bodě algebraicky (funkce je diferencovatelná)
- Diferencovatelnost v bodě algebraicky (funkce není diferencovatelná)
- Diferencovatelnost v bodě algebraicky
- Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
Diferencovatelnost a spojitost
Zadefinujeme si pojem diferencovatelnosti a získáme intuici o tom, jak spolu souvisí diferencovatelnost a spojitost.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu si představíme koncept
diferencovatelnosti v určitém bodě funkce. Diferencovatelnost znamená, jestli
funkce má v daném bodě derivaci. Připomeňme si
definici derivace. Lze ji zapsat
několika způsoby. Pro naše účely napíšu,
že derivace funkce v bodě c… Tohle je Lagrangeův
způsob zápisu, f s čarou. Je rovna limitě pro x jdoucí k c
z f(x) minus f(c) lomeno x minus c. Tuhle rovnici nevidíme poprvé. Přestože zprvu může působit zvláštně,
je to jen výpočet směrnice funkce. Dělíme změnu y v čitateli
změnou x v jmenovateli. Snažíme se určit směrnici, když se změna
x blíží k 0, neboli když se x blíží k c. Tomu jsme se věnovali
v minulých videích. Začneme s několika výroky. Nebudu je dnes zevrubně dokazovat,
to necháme na jindy. Dnes chceme jen
získat určitý náhled. Zaprvé, pokud je funkce f v bodě x rovno c
diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá. Takže pokud v bodě x rovno c existuje tato
limita, funkce je v tomto bodě spojitá. Tahle implikace nefunguje obráceně, funkce
může být spojitá, ale ne diferencovatelná, později si ukážeme
příklad takové funkce. Každopádně, pokud funkce není v bodě
spojitá, rozhodně není diferencovatelná. Jestliže f v bodě x rovno c není spojitá,
pak v tomto bodě f není diferencovatelná. Uvedeme si pár příkladů nespojité funkce,
zamyslete se, zda u nich lze najít limitu. První příklad je tato
nespojitá funkce. Funkce má v bodě ‚c‘ určitou hodnotu, ale
pro x větší než ‚c‘ hodnota skočí dolů. Takže co by se stalo, kdybychom
se pokusili najít tuhle limitu? Tenhle vzorec vyjadřuje směrnici úsečky
určené libovolným bodem x a bodem c. x si zvolíme třeba tady,
takže tady leží bod [x;f(x)], A tady je bod [c;f(c)]. Když budeme hledat limitu pro
hodnoty zleva, dostaneme tuto úsečku. Když se pak přiblížíme k ‚c‘,
dostaneme tuto úsečku. A pak ještě blíž,
dostaneme tuto úsečku. Směrnice ve všech třech případech bude 0.
Takže zleva se limita zdánlivě blíží 0. Zkusme teď najít limitu zprava,
zvolíme si x někde tady. Směrnice úsečky s bodem [x;f(x)] se rovná
f(x) minus f(c), to celé lomeno x minus c. To by byla
směrnice této úsečky. Pokud se s x přiblížíme k ‚c‘, třeba sem,
dostaneme směrnici téhle úsečky. Pokud se ještě přiblížíme,
dostaneme směrnici této úsečky. Takže čím blíž jsme k bodu x rovno c,
tím blíž jsme zápornému nekonečnu. Ale především, blížíme se zprava
úplně jiné hodnotě než zleva. Proto v tomto bodě tato limita neexistuje,
funkce v tomto bodě není diferencovatelná. Raději zopakuji,
že tohle není důkaz. Jen tu můžeme jasně vidět, proč nespojitá
funkce bude zároveň i nediferencovatelná. Ukážeme si další příklad. V téhle funkci máme takzvanou
odstranitelnou nespojitost. Znovu se začneme k c blížit
zleva, přičemž tady leží bod [x;f(x)]. A tímto vzorcem bychom spočítali směrnici
úsečky určené body [x;f(x)] a [c;f(c)]. Ten je ale tady dole, funkce je nespojitá,
takže bychom dostali směrnici této úsečky. Když se s x přiblížíme k ‚c‘,
dostaneme směrnici téhle úsečky. Když půjdeme ještě blíž,
dostaneme směrnici této úsečky. Takže když se x blíží k ‚c‘ zleva, zase se
směrnice blíží zápornému nekonečnu. A když se budeme blížit naopak
zprava, tady bude bod [x;f(x)]. Směrnice této úsečky je kladná, navíc
se zvětšuje s tím, jak se blížíme k ‚c‘, a dostáváme se ke
kladnému nekonečnu. Každopádně se neblížíme
konkrétní hodnotě. Zleva se blížíme zápornému nekonečnu,
zprava se blížíme kladnému nekonečnu. Tato limita taky
nebude existovat. Znovu, toto není důkaz, ale zkuste přijít
s nespojitou funkci, kde limitu najdete. Je to opravdu těžké. A možná si říkáte, co funkce,
kde f(c) ani není definované. Taková funkce je
potom určitě nespojitá. Navíc, pokud c není definováno, pak tato
část vzorce nedává žádný smysl. Taková funkce je
taky nediferencovatelná. Teď se však zaměřme
na něco jiného. Uvedl jsem pár argumentů, proč nespojitá
funkce nutně bude i nediferencovatelná. Teď si ukážeme, jestli spojitá funkce
musí naopak být nutně i diferencovatelná. Inu, existuje nekonečně mnoho funkcí,
které sice jsou v bodě c spojité, ale nejsou v bodě c diferencovatelné,
například funkce s absolutní hodnotou. Tohle je funkce y rovná se
absolutní hodnotě x minus c. Proč tato funkce v bodě c
není diferencovatelná? Musíme si uvědomit, že tento výraz udává
směrnici mezi body [x;f(x)] a [c;f(c)]. Takže pokud tady vlevo je [x;f(x)],
ze vzorce dostaneme směrnici této úsečky. A když se přiblížíme k ‚c‘, dostaneme
směrnici této úsečky, která bude stejná. Směrnice této funkce bude -1 pro x blížící
se c od hodnot menších než c, tedy zleva. Ale pro x blížící se c zprava
bude vzorec mít hodnotu 1. Směrnice úsečky
bude 1. Takže tento vzorec nám dává dvě různé
hodnoty, když se x blíží c zleva a zprava. Zleva se směrnice
blíží -1, zprava 1. V takovém případě
limita neexistuje. Tato funkce v bodě
c není diferencovatelná. Dává to smysl, protože derivace je vlastně
směrnice tečny, těch je v ‚c‘ nekonečno. Tečna by mohla
klidně vést třeba tudy. Ale klidně i tudy, tato přímka se také
dotýká grafu funkce jen v bodě c. Můžu jich tu nakreslit
nekonečně mnoho. Nejdůležitější myšlenka, kterou jsme si
dnes nastínili a příště ji dokážeme, zní: pokud je f v bodě c diferencovatelná,
pak je v tomto bodě nutně i spojitá. Což znamená, že pokud f v bodě c spojitá
není, není v bodě c ani diferencovatelná. Snad vám tyto dva příklady
pomohly si to představit. To, že f je v bodě c spojitá, však nutně
neznamená, že je tu i diferencovatelná. Často to bude
platit, ale ne vždycky. Třeba tato funkce s absolutní hodnotou je
v bodě c spojitá, ale nediferencovatelná.