Sečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce

Máme zde část grafu funkce y rovná se x na druhou. Nejprve bych se rád zaměřil na to, jaká je průměrná změna funkční hodnoty y vzhledem k x, a to na intervalu od x rovno 1 do x rovno 3. Chceme průměrnou změnu funkční hodnoty y vůči x na uzavřeném intervalu od 1 do 3, takže x může být i rovno 1 nebo 3. Tohle dokážeme zvládnout i bez grafu, když si uděláme tabulku s jedním sloupcem pro x a druhým pro y rovná se x na druhou. Když je x rovno 1, y se rovná 1 na druhou, což je 1. To můžeme vidět i v grafu. Když je x rovno 3, y se rovná 3 na druhou, což je 9. I v grafu opět vidíme, že když je x rovno 3, y se rovná 9. Abychom spočítali, jaká je průměrná změna hodnoty y vzhledem k x, tak si řekneme: „Jaká je změna x?“ Snadno nahlédneme, že změna hodnoty x na tomto intervalu je rovna plus 2. A jaká je změna y na tom samém intervalu? Změna y se rovná… Když se x zvětšilo z 1 na 3, tedy zvětšilo se o 2, y se zvětšilo o 8, takže změna y se rovná plus 8. Takže kolik je průměrná změna hodnoty y? Rovná se změně y dělené změnou x, což je rovno 8 děleno 2, a to jsou 4. To je průměrná změna hodnoty y na zadaném intervalu. Kdykoliv se x zvětší o 1, y se v průměru zvětší o 4. Jak jsme na to přišli? Podívali jsme se, jaká je změna x, kterou si můžeme takto nakreslit, a jaká je změna y, která v grafu vypadá takto. Vydělením změny y změnou x jsme pak dostali průměrnou změnu hodnoty y. Tohle vám možná připadá povědomé, protože na změnu y dělenou změnou x jste zvyklí, a to jako na směrnici přímky spojující dané dva body, což je skutečně to, co jsme spočítali, protože kdybychom si nakreslili sečnu procházející těmito dvěma body, tak jsme právě spočítali směrnici této sečny. Proto je průměrná změna hodnoty y mezi dvěma body totéž co směrnice dané sečny. Když porovnáte, jak na daném intervalu vypadá zadaná křivka a její sečna, tak snad získáte vizuální představu o tom, co průměrná změna hodnoty znamená. Na začátku intervalu totiž sečna stoupá rychleji, ale jak se dostáváme blíže ke 3, tak naše žlutá křivka stoupá rychleji než sečna, až se nakonec opět protnou. To je důvodem, proč je směrnice sečny průměrnou změnou hodnoty y. Je to přesná změna hodnoty y v každém bodě? Vůbec ne! Změna hodnoty y na této křivce se neustále mění. Na začátku intervalu je tato změna menší, ale jak jsme čím dál blíže ke 3, tak je tato změna čím dál větší. Takže změna y na tomto intervalu vydělená změnou x je úplně totéž. Možná si teď říkáte, proč se tohle učíte v diferenciálním počtu. Nemohlo by to být v kurzu algebry? Mohlo, ale jedna ze základních myšlenek diferenciálního počtu je ptát se, co se stane, když budou tyto body blíž a blíž u sebe. Spočítali jsme průměrnou změnu funkční hodnoty mezi 1 a 3, neboli směrnici sečny procházející body [1;1] a [3;9]. Co kdybychom místo toho spočítali směrnici sečny, která prochází body [2;4] a [3;9]? Co kdybychom chtěli být ještě blíž? Co kdybychom spočítali směrnici sečny, která prochází body [2,5;6,25] a [3;9]? Co se stane, když budou body stále blíž a blíž? Směrnice těchto sečen se budou stále víc blížit k směrnici tečny v bodě x rovno 3. Pokud se nám podaří určit směrnici tečny, tak už nepůjde o průměrnou změnu funkční hodnoty, ale o její okamžitou změnu, což je hlavní myšlenkou derivace, o níž si už brzo povíme. Je tedy důležité mít na paměti, že průměrná změna funkční hodnoty mezi dvěma body je rovna směrnici sečny a že když jsou tyto body čím dál tím víc u sebe a máme sečny, které jimi prochází… Když se vzdálenost mezi body x blíží k 0, tak se budou dít velmi zajímavé věci.