Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Průměrná a okamžitá rychlost změny hodnoty funkceSečny a průměrná rychlost změny hodnoty funkce
Ukážeme si, co je průměrná rychlost změny hodnoty funkce a jak souvisí se směrnicí sečny jejího grafu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zde část grafu funkce
y rovná se x na druhou. Nejprve bych se
rád zaměřil na to, jaká je průměrná změna
funkční hodnoty y vzhledem k x, a to na intervalu od
x rovno 1 do x rovno 3. Chceme průměrnou změnu funkční hodnoty y
vůči x na uzavřeném intervalu od 1 do 3, takže x může být i rovno 1 nebo 3. Tohle dokážeme
zvládnout i bez grafu, když si uděláme tabulku s jedním sloupcem
pro x a druhým pro y rovná se x na druhou. Když je x rovno 1, y se rovná
1 na druhou, což je 1. To můžeme vidět i v grafu. Když je x rovno 3, y se rovná
3 na druhou, což je 9. I v grafu opět vidíme, že když
je x rovno 3, y se rovná 9. Abychom spočítali, jaká je průměrná
změna hodnoty y vzhledem k x, tak si řekneme:
„Jaká je změna x?“ Snadno nahlédneme, že změna hodnoty
x na tomto intervalu je rovna plus 2. A jaká je změna y na
tom samém intervalu? Změna y se rovná… Když se x zvětšilo z 1 na 3,
tedy zvětšilo se o 2, y se zvětšilo o 8, takže
změna y se rovná plus 8. Takže kolik je
průměrná změna hodnoty y? Rovná se změně y dělené změnou x,
což je rovno 8 děleno 2, a to jsou 4. To je průměrná změna hodnoty
y na zadaném intervalu. Kdykoliv se x zvětší o 1,
y se v průměru zvětší o 4. Jak jsme na to přišli? Podívali jsme se, jaká je změna x,
kterou si můžeme takto nakreslit, a jaká je změna y,
která v grafu vypadá takto. Vydělením změny y změnou x jsme
pak dostali průměrnou změnu hodnoty y. Tohle vám možná připadá povědomé, protože
na změnu y dělenou změnou x jste zvyklí, a to jako na směrnici přímky
spojující dané dva body, což je skutečně to,
co jsme spočítali, protože kdybychom si nakreslili
sečnu procházející těmito dvěma body, tak jsme právě spočítali
směrnici této sečny. Proto je průměrná změna hodnoty y mezi
dvěma body totéž co směrnice dané sečny. Když porovnáte, jak na daném intervalu
vypadá zadaná křivka a její sečna, tak snad získáte vizuální představu
o tom, co průměrná změna hodnoty znamená. Na začátku intervalu totiž sečna stoupá
rychleji, ale jak se dostáváme blíže ke 3, tak naše žlutá křivka stoupá rychleji
než sečna, až se nakonec opět protnou. To je důvodem, proč je směrnice sečny
průměrnou změnou hodnoty y. Je to přesná změna hodnoty y
v každém bodě? Vůbec ne! Změna hodnoty y na této
křivce se neustále mění. Na začátku intervalu
je tato změna menší, ale jak jsme čím dál blíže ke 3,
tak je tato změna čím dál větší. Takže změna y na tomto intervalu
vydělená změnou x je úplně totéž. Možná si teď říkáte, proč se tohle
učíte v diferenciálním počtu. Nemohlo by to být
v kurzu algebry? Mohlo, ale jedna ze základních myšlenek
diferenciálního počtu je ptát se, co se stane, když budou
tyto body blíž a blíž u sebe. Spočítali jsme průměrnou
změnu funkční hodnoty mezi 1 a 3, neboli směrnici sečny
procházející body [1;1] a [3;9]. Co kdybychom místo toho spočítali směrnici
sečny, která prochází body [2;4] a [3;9]? Co kdybychom chtěli
být ještě blíž? Co kdybychom spočítali směrnici sečny,
která prochází body [2,5;6,25] a [3;9]? Co se stane, když budou
body stále blíž a blíž? Směrnice těchto sečen se budou stále víc
blížit k směrnici tečny v bodě x rovno 3. Pokud se nám podaří
určit směrnici tečny, tak už nepůjde o průměrnou změnu funkční
hodnoty, ale o její okamžitou změnu, což je hlavní myšlenkou derivace,
o níž si už brzo povíme. Je tedy důležité
mít na paměti, že průměrná změna funkční hodnoty
mezi dvěma body je rovna směrnici sečny a že když jsou tyto body čím dál tím víc
u sebe a máme sečny, které jimi prochází… Když se vzdálenost
mezi body x blíží k 0, tak se budou dít
velmi zajímavé věci.