Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Průměrná a okamžitá rychlost změny hodnoty funkceNewton, Leibniz a Usain Bolt
Proč je dobré znát diferenciální počet. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Tohle je obrázek Isaaca Newtona, super
slavného britského matematika a fyzika. A toto je obrázek Gottfrieda Leibnize, který není až tak slavný, ale asi by měl být. Byl to německý filozof a matematik,
který žil ve stejné době jako Isaac Newton. Tito dva pánové společně vytvořili
základy matematické analýzy. Většinu své práce
udělali na konci 17. století. Na tomto obrázku je Usain
Bolt, jamajský sprinter, který pokračuje ve
skvělé sprinterské kariéře. V roce 2012 byl
nejrychlejším žijícím člověkem. Je pravděpodobně nejrychlejší
člověk, který kdy žil. Možná vám uchází souvislost
mezi těmito třemi pány. Možná si myslíte, že
nemají mnoho společného, ale všichni jsou posedlí
stejnou základní otázkou, kterou se zabývá
diferenciální počet a ta otázka zní: Jaká je okamžitá míra
změny nějaké veličiny? V případě Usaina Bolta:
Jak rychle běží právě teď? Ne jaká byla jeho průměrná
rychlost v poslední sekundě nebo jeho průměrná rychlost v 10
sekundách. Ale jak rychle běží právě teď? A o tom je diferenciální počet.
O okamžitých mírách změn veličiny. A Newtonův termín pro diferenciální počet
byl metoda diferenciálů, což zní lákavěji, ale jedná se o to, co
se děje v tomto okamžiku. Přemýšlejme, proč to není snadný problém,
který lze řešit tradiční algebrou. Nakreslíme si zde malý graf.
Na této ose mám vzdálenost a ‚y‘ značí vzdálenosti. Mohl jsem označit
vzdálenost jako ‚d‘, ale uvidíme později, že v diferenciálním počtu je ‚d‘
vyhrazeno pro něco jiného, a tak říkáme, že ‚y‘ je vzdálenost. A na této ose budeme mít čas, ‚t‘ běžně
značí čas, ale radši jej označíme ‚x‘, ‚x‘ je čas, pokud bychom vyznačili Boltem
uběhnutou vzdálenost jako funkci času, pak v čase 0 ještě nikam nedoběhl. Je zde, a víme, že tenhle muž je schopen
uběhnout 100 metrů za 9,58 sekund. Takže za 9,58 sekundy budeme předpokládat,
-- Tady to je v sekundách. -- že je schopen uběhnout 100 metrů. A z těchto údajů vlastně můžeme
vypočítat průměrnou rychlost. Jeho průměrná rychlost bude změna
vzdálenosti lomeno změna času. A vzdálenost jsme označili proměnou ‚y‘,
takže změna y lomeno změna x. Z tohoto bodu k tomuto bodu.
A nejspíš už to znáte ze základní algebry. To je sklon přímky mezi dvěma body. Pokud mám přímku spojující tyto dva
body, pak toto je směrnice přímky. Změna vzdálenosti je tohle. Změna ‚y‘ je
100 m a naše změna času je toto zde. Takže uběhlý čas se rovná 9,58 sekund. Začneme na 0,
a dostáváme se na 9,58 sekund. Můžeme se na to dívat
i jinak: (y - y1) / (x - x1). Možná jste se s tím v algebře setkali. Bude to 100 metrů lomeno 9,58 sekund. Tak to je 100 metrů za 9,58 sekund. A směrnice je v podstatě
jen rychlost změny, nebo si ji lze představit jako průměrnou
rychlost změn mezi těmito dvěma body. A vidíte, pokud si všímáte jednotek, že to jsou jednotky rychlosti. Kdybychom chtěli rychlost jako vektor,
museli bychom udat směr. A můžeme začít počítat.
Vytáhnu kalkulačku. Takže běžíme 100 metrů za 9,58
sekund a to je přibližně 10,4. Jednotky jsou metry za sekundu. A to je jeho průměrná rychlost.
A za chviličku si ukážeme, jak se průměrná rychlost
liší od okamžité rychlosti. Jak se liší od rychlosti, kterou běží
ve kterémkoli daném okamžiku. A abychom měli pojem
o tom, jak rychle to je, tak vytáhnu zpátky kalkulačku.
To je v metrech za sekundu. Pokud chcete vědět, kolik metrů uběhne
za hodinu, tak v hodině je 3600 vteřin. Bude schopen uběhnout
tolik metrů krát 3600. Tak to je tolik, kolik metrů uběhne, pokud
zvládne rychlost udržet celou hodinu. Takto rychle běží v metrech za hodinu. A kdybyste měli říct, kolik je to mil
za hodinu, tak míle je zhruba 1600m, nevím to přesně, ale zhruba 1600 metrů. Takže to vydělíme 1600. A vidíte, že je to zhruba něco
málo přes 23,5 mil za hodinu. Je to přibližně 23,5 mil za hodinu. A vzhledem k autu
to není moc rychle, ale vzhledem k mé rychlosti
je to extrémně rychlé tempo. Abychom si představili, v čem
je to jiné než okamžitá rychlost, tak se pojďme zamyslet nad reálným grafem
uběhlé vzdálenosti v závislosti na čase. On nepoběží okamžitě plnou rychlostí. Nevyběhne tak rychle
přesně v okamžiku staru. Nepoběží rychlostí 23,5 mil
za hodinu celou cestu. Bude muset zrychlit. Takže zpočátku, začne trochu pomaleji. Ten
sklon bude o trochu nižší než průměrný. Bude trochu pomalejší.
Pak začne zrychlovat. A tak jeho rychlost a vidíte, že zde je křivka
stále strmější a strmější a pak možná na konci
už začne trošku zpomalovat. A tak graf jeho uběhlé vzdálenosti
v závislosti na čase může být křivka, která vypadá asi takto. A co jsme zde vypočítali je jen průměrná
směrnice za celý časový interval. Můžeme vidět, v daných
okamžicích je směrnice jiná. Na začátku má pomalejší
rychlost přírůstku vzdálenosti. Pak tady zrychluje, a vypadá to, že rychlost přírůstku
vzdálenosti by byla zhruba… Nebo si to představte
jako směrnici tečny v tomto bodě. Vypadá to vyšší než
jeho průměrná rychlosti. A pak začne zpomalovat.
Průměrně běží 23.5 mil za hodinu. A našel jsem si, že okamžitá nejvyšší
rychlost Usaina Bolta je 30 mil za hodinu. Takže směrnice tady by
mohla být 23 mil za hodinu, ale jeho nejrychlejší bod v těchto 9,58
sekundách se blíží k 30 mílím za hodinu. A vidíte, že to není triviální záležitost. Mohli byste říct: ok, zkusme se přiblížit
této směrnici. A mohli byste říct: jaký je tady
přírůstek ‚y‘ děleno přírůstkem ‚x‘? Mohli byste říct: vezmu
nějaký přírůstek ‚x‘, a přijdu na to, jaký je
odpovídající přírůstek ‚y‘. Takže to máme, ale
stále to bude přibližně. Protože vidíte, že sklon této
křivky se neustále mění. Potřebujete vědět, co se stane, když
přírůstek ‚x‘ bude menší a menší. A jak se zmenšuje přírůstek
‚x‘ na menší a menší, tak získáte lepší přiblížení. Váš přírůstek ‚y‘ bude menší a menší. Dostaneme se hlouběji do tohoto
oboru a budeme jej studovat důsledněji, takže chcete limitu
přírůstku ‚x‘ blížící se nule. Přírůstek ‚x‘ se blíží nule ve členu:
přírůstek ‚y‘ lomeno přírůstek ‚x‘, a když to uděláte, tak se
přiblížíte okamžité rychlosti. Můžete si to představit jako
okamžitý sklon v tomto bodě křivky. Nebo směrnici tečny v tomto bodě křivky. Nebo pokud používáme terminologii
matematické analýzy, tak to je derivace. Takže směrnice tečny je derivace. A zápis, který používáme pro
derivace je ‚dy lomeno dx‘. A právě proto jsem vyhradil písmeno y. Jak to souvisí se slovem diferenciál? Toto ‚dy‘ je diferenciál,
‚dx‘ je diferenciál. A můžete si to představit takto: nekonečně malý přírůstek y lomeno
nekonečně malý přírůstek x. A tím, že pracujeme se super
malými přírůstky ‚y‘ nebo ‚x‘, tak jste schopni získat
okamžitý sklon, směrnici tečny, nebo v našem příkladě okamžitou rychlost
Usaina Bolta právě v tomto momentu. Všimněte si, že zde
nelze dosadit nulu. Pokud bychom za ‚x‘ dosadili 0, dostali
bychom něco nedefinovaného. Nemůžete dělit nulou.
Vezmete limitu blížící se nule a všechno si to vysvětlíme
důsledněji v následujících videích.