Newton, Leibniz a Usain Bolt

Tohle je obrázek Isaaca Newtona, super slavného britského matematika a fyzika. A toto je obrázek Gottfrieda Leibnize, který není až tak slavný, ale asi by měl být. Byl to německý filozof a matematik, který žil ve stejné době jako Isaac Newton. Tito dva pánové společně vytvořili základy matematické analýzy. Většinu své práce udělali na konci 17. století. Na tomto obrázku je Usain Bolt, jamajský sprinter, který pokračuje ve skvělé sprinterské kariéře. V roce 2012 byl nejrychlejším žijícím člověkem. Je pravděpodobně nejrychlejší člověk, který kdy žil. Možná vám uchází souvislost mezi těmito třemi pány. Možná si myslíte, že nemají mnoho společného, ale všichni jsou posedlí stejnou základní otázkou, kterou se zabývá diferenciální počet a ta otázka zní: Jaká je okamžitá míra změny nějaké veličiny? V případě Usaina Bolta: Jak rychle běží právě teď? Ne jaká byla jeho průměrná rychlost v poslední sekundě nebo jeho průměrná rychlost v 10 sekundách. Ale jak rychle běží právě teď? A o tom je diferenciální počet. O okamžitých mírách změn veličiny. A Newtonův termín pro diferenciální počet byl metoda diferenciálů, což zní lákavěji, ale jedná se o to, co se děje v tomto okamžiku. Přemýšlejme, proč to není snadný problém, který lze řešit tradiční algebrou. Nakreslíme si zde malý graf. Na této ose mám vzdálenost a ‚y‘ značí vzdálenosti. Mohl jsem označit vzdálenost jako ‚d‘, ale uvidíme později, že v diferenciálním počtu je ‚d‘ vyhrazeno pro něco jiného, a tak říkáme, že ‚y‘ je vzdálenost. A na této ose budeme mít čas, ‚t‘ běžně značí čas, ale radši jej označíme ‚x‘, ‚x‘ je čas, pokud bychom vyznačili Boltem uběhnutou vzdálenost jako funkci času, pak v čase 0 ještě nikam nedoběhl. Je zde, a víme, že tenhle muž je schopen uběhnout 100 metrů za 9,58 sekund. Takže za 9,58 sekundy budeme předpokládat, -- Tady to je v sekundách. -- že je schopen uběhnout 100 metrů. A z těchto údajů vlastně můžeme vypočítat průměrnou rychlost. Jeho průměrná rychlost bude změna vzdálenosti lomeno změna času. A vzdálenost jsme označili proměnou ‚y‘, takže změna y lomeno změna x. Z tohoto bodu k tomuto bodu. A nejspíš už to znáte ze základní algebry. To je sklon přímky mezi dvěma body. Pokud mám přímku spojující tyto dva body, pak toto je směrnice přímky. Změna vzdálenosti je tohle. Změna ‚y‘ je 100 m a naše změna času je toto zde. Takže uběhlý čas se rovná 9,58 sekund. Začneme na 0, a dostáváme se na 9,58 sekund. Můžeme se na to dívat i jinak: (y - y1) / (x - x1). Možná jste se s tím v algebře setkali. Bude to 100 metrů lomeno 9,58 sekund. Tak to je 100 metrů za 9,58 sekund. A směrnice je v podstatě jen rychlost změny, nebo si ji lze představit jako průměrnou rychlost změn mezi těmito dvěma body. A vidíte, pokud si všímáte jednotek, že to jsou jednotky rychlosti. Kdybychom chtěli rychlost jako vektor, museli bychom udat směr. A můžeme začít počítat. Vytáhnu kalkulačku. Takže běžíme 100 metrů za 9,58 sekund a to je přibližně 10,4. Jednotky jsou metry za sekundu. A to je jeho průměrná rychlost. A za chviličku si ukážeme, jak se průměrná rychlost liší od okamžité rychlosti. Jak se liší od rychlosti, kterou běží ve kterémkoli daném okamžiku. A abychom měli pojem o tom, jak rychle to je, tak vytáhnu zpátky kalkulačku. To je v metrech za sekundu. Pokud chcete vědět, kolik metrů uběhne za hodinu, tak v hodině je 3600 vteřin. Bude schopen uběhnout tolik metrů krát 3600. Tak to je tolik, kolik metrů uběhne, pokud zvládne rychlost udržet celou hodinu. Takto rychle běží v metrech za hodinu. A kdybyste měli říct, kolik je to mil za hodinu, tak míle je zhruba 1600m, nevím to přesně, ale zhruba 1600 metrů. Takže to vydělíme 1600. A vidíte, že je to zhruba něco málo přes 23,5 mil za hodinu. Je to přibližně 23,5 mil za hodinu. A vzhledem k autu to není moc rychle, ale vzhledem k mé rychlosti je to extrémně rychlé tempo. Abychom si představili, v čem je to jiné než okamžitá rychlost, tak se pojďme zamyslet nad reálným grafem uběhlé vzdálenosti v závislosti na čase. On nepoběží okamžitě plnou rychlostí. Nevyběhne tak rychle přesně v okamžiku staru. Nepoběží rychlostí 23,5 mil za hodinu celou cestu. Bude muset zrychlit. Takže zpočátku, začne trochu pomaleji. Ten sklon bude o trochu nižší než průměrný. Bude trochu pomalejší. Pak začne zrychlovat. A tak jeho rychlost a vidíte, že zde je křivka stále strmější a strmější a pak možná na konci už začne trošku zpomalovat. A tak graf jeho uběhlé vzdálenosti v závislosti na čase může být křivka, která vypadá asi takto. A co jsme zde vypočítali je jen průměrná směrnice za celý časový interval. Můžeme vidět, v daných okamžicích je směrnice jiná. Na začátku má pomalejší rychlost přírůstku vzdálenosti. Pak tady zrychluje, a vypadá to, že rychlost přírůstku vzdálenosti by byla zhruba… Nebo si to představte jako směrnici tečny v tomto bodě. Vypadá to vyšší než jeho průměrná rychlosti. A pak začne zpomalovat. Průměrně běží 23.5 mil za hodinu. A našel jsem si, že okamžitá nejvyšší rychlost Usaina Bolta je 30 mil za hodinu. Takže směrnice tady by mohla být 23 mil za hodinu, ale jeho nejrychlejší bod v těchto 9,58 sekundách se blíží k 30 mílím za hodinu. A vidíte, že to není triviální záležitost. Mohli byste říct: ok, zkusme se přiblížit této směrnici. A mohli byste říct: jaký je tady přírůstek ‚y‘ děleno přírůstkem ‚x‘? Mohli byste říct: vezmu nějaký přírůstek ‚x‘, a přijdu na to, jaký je odpovídající přírůstek ‚y‘. Takže to máme, ale stále to bude přibližně. Protože vidíte, že sklon této křivky se neustále mění. Potřebujete vědět, co se stane, když přírůstek ‚x‘ bude menší a menší. A jak se zmenšuje přírůstek ‚x‘ na menší a menší, tak získáte lepší přiblížení. Váš přírůstek ‚y‘ bude menší a menší. Dostaneme se hlouběji do tohoto oboru a budeme jej studovat důsledněji, takže chcete limitu přírůstku ‚x‘ blížící se nule. Přírůstek ‚x‘ se blíží nule ve členu: přírůstek ‚y‘ lomeno přírůstek ‚x‘, a když to uděláte, tak se přiblížíte okamžité rychlosti. Můžete si to představit jako okamžitý sklon v tomto bodě křivky. Nebo směrnici tečny v tomto bodě křivky. Nebo pokud používáme terminologii matematické analýzy, tak to je derivace. Takže směrnice tečny je derivace. A zápis, který používáme pro derivace je ‚dy lomeno dx‘. A právě proto jsem vyhradil písmeno y. Jak to souvisí se slovem diferenciál? Toto ‚dy‘ je diferenciál, ‚dx‘ je diferenciál. A můžete si to představit takto: nekonečně malý přírůstek y lomeno nekonečně malý přírůstek x. A tím, že pracujeme se super malými přírůstky ‚y‘ nebo ‚x‘, tak jste schopni získat okamžitý sklon, směrnici tečny, nebo v našem příkladě okamžitou rychlost Usaina Bolta právě v tomto momentu. Všimněte si, že zde nelze dosadit nulu. Pokud bychom za ‚x‘ dosadili 0, dostali bychom něco nedefinovaného. Nemůžete dělit nulou. Vezmete limitu blížící se nule a všechno si to vysvětlíme důsledněji v následujících videích.