Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Průměrná a okamžitá rychlost změny hodnoty funkceDerivace a rovnice tečny
Derivace funkce nám udává směrnici tečny ke grafu funkce v jakémkoli bodě. Toho můžeme využít k tomu, abychom zjistili rovnici této tečny.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Tečna ke grafu funkce f
v bodě [2;3] prochází bodem [7;6]. Urči první derivaci
funkce f v bodě 2. Kdykoliv máte nějakou takovou úlohu,
není na škodu si to zkusit představit. Můžete si to nakreslit
nebo jen představit v hlavě. Protože však do mojí hlavy
nevidíte, tak to nakreslím. Takže si nakresleme,
co máme v zadání. Tohle budou
osy x a y. Body, které nás
zajímají, jsou [2;3] a [7;6]. Na ose x si vyznačíme
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a na ose y to bude
1, 2, 3, 4, 5 a 6. V zadání máme bod [2;3],
který si takto podtrhnu. Bod [2;3] se
nachází tady. V zadání je také bod [7;6],
který bude tady. Připomeňme si,
co nám zadání říká. V zadání máme, že tečna ke grafu funkce f
v tomto bodě prochází bodem [7;6]. Protože je to tečna
ke grafu v tomto bodě, tak musí procházet bodem [2;3], což je
zároveň jediný bod, v němž protíná graf, a prochází také
bodem [7;6]. Přímka už je určena
dvěma svými body, takže tečna bude
vypadat nějak takto. Je to tečna ke grafu funkce f
v bodě [2;3] a prochází bodem [7;6]. O funkci f nevíme vůbec nic,
ale můžeme si představit, jak asi vypadá. Naše funkce f by mohla
vypadat třeba nějak takto. Potřebujeme jen, aby naše přímka
byla tečnou grafu v zadaném bodě. Takhle nějak by tedy
mohla vypadat naše funkce f. Když se po nás chce, abychom
určili první derivaci f v bodě 2, tak se nás vlastně ptají, jaká je
směrnice tečny v bodě x rovno 2. Když je x rovno 2, tak směrnice příslušné
tečny je přesně směrnice naší přímky. V zadání nám dali dva body,
které na této tečně leží, teď už jen musíme
spočítat její směrnici, protože to bude rychlost změny
funkční hodnoty v tomto bodě, neboli
derivace. Derivace je totiž směrnice tečny
a tohle je tečna. Pojďme na to. Víme, že směrnice je rovna
změně y dělené změnou x. Když jdeme z bodu [2;3]
do bodu [7;6], tak jdeme z bodu x rovno 2 do bodu
x rovno 7, takže změna x bude 5, a jdeme z bodu y rovno 3 do bodu
y rovno 6, takže změna y je rovna 3. Změna y dělená změnou x
se tak rovná 3 lomeno 5 a to je směrnice této přímky,
což je derivace naší funkce v bodě 2, neboť toto je tečna ke
grafu v bodě x rovno 2. Udělejme si ještě
jeden příklad. O funkci g víme, že g v bodě -1 se rovná 3
a že první derivace g v bodě -1 je -2. Jaká je rovnice tečny ke grafu
funkce g v bodě x rovno -1? Myslím, že bude užitečné,
když si to zase nakreslíme. Nejprve si nakreslíme
osu y a osu x. Zadání říká, že funkční
hodnota g v bodě -1 je 3, takže bod [-1;3] leží
na grafu naší funkce. Tady je -1 a na ose y
si vyznačíme 1, 2, 3. Tady tak bude bod [-1;3],
který leží na grafu naší funkce. Dále víme, že první derivace
g v bodě -1 je rovna -2. To nám říká, že směrnice tečny ke grafu
naší funkce v tomto bodě bude -2. Říká nám to totiž, že směrnice
tečny v bodě x rovno -1 je rovna -2. Tuto informaci teď využijeme
k tomu, abychom tečnu nakreslili. Pokusím se to tu nakreslit,
bude to vypadat nějak takto. Tečna má mít směrnici rovnou -2,
takže bude vypadat nějak takto. Vidíme, že když se ve směru
osy x posuneme o 1 doprava, tak se ve směru osy y
posuneme o 2 dolů, což odpovídá
směrnici rovné -2. Možná si teď říkáte:
„A kde je g?“ Můžeme si nakreslit, jak by
funkce g mohla vypadat. Nás ale zajímá jen
rovnice této zelené přímky. Lze ji najít několika
různými způsoby. Mohli byste si říct:
„Přímka je obecně…“ Je několik různých způsobů,
jak definovat rovnici přímky. Mohli byste říct, že přímka má rovnici
tvaru ‚y‘ rovná se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘, kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová
souřadnice průsečíku s osou y. Už víme, čemu se rovná
směrnice naší přímky, je to -2, takže můžeme napsat
‚y‘ rovná se -2 krát ‚x‘ plus ‚b‘. ‚b‘ nyní spočítáme díky tomu, že víme,
že bod [-1;3] leží na naší přímce. Tohle už jste se učili
někdy v kurzu algebry. Dosaďme tedy
-1 za x a 3 za y. y se rovná 3, takže 3 je rovno
-2 krát x, tedy -2 krát -1, plus ‚b‘. -2 krát -1 je 2, takže když od obou stran
odečteme 2, dostaneme, že ‚b‘ se rovná 1. Rovnice naší přímky je tedy
y rovná se -2 krát x plus 1. Dá se to udělat
i jinými způsoby. Mohli byste najít rovnici
v rozšířeném směrnicovém tvaru, nebo to udělat takhle, nebo
najít obecnou rovnici přímky. Alespoň já to ale
nejradši dělám takhle.