Derivace a rovnice tečny

Tečna ke grafu funkce f v bodě [2;3] prochází bodem [7;6]. Urči první derivaci funkce f v bodě 2. Kdykoliv máte nějakou takovou úlohu, není na škodu si to zkusit představit. Můžete si to nakreslit nebo jen představit v hlavě. Protože však do mojí hlavy nevidíte, tak to nakreslím. Takže si nakresleme, co máme v zadání. Tohle budou osy x a y. Body, které nás zajímají, jsou [2;3] a [7;6]. Na ose x si vyznačíme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a na ose y to bude 1, 2, 3, 4, 5 a 6. V zadání máme bod [2;3], který si takto podtrhnu. Bod [2;3] se nachází tady. V zadání je také bod [7;6], který bude tady. Připomeňme si, co nám zadání říká. V zadání máme, že tečna ke grafu funkce f v tomto bodě prochází bodem [7;6]. Protože je to tečna ke grafu v tomto bodě, tak musí procházet bodem [2;3], což je zároveň jediný bod, v němž protíná graf, a prochází také bodem [7;6]. Přímka už je určena dvěma svými body, takže tečna bude vypadat nějak takto. Je to tečna ke grafu funkce f v bodě [2;3] a prochází bodem [7;6]. O funkci f nevíme vůbec nic, ale můžeme si představit, jak asi vypadá. Naše funkce f by mohla vypadat třeba nějak takto. Potřebujeme jen, aby naše přímka byla tečnou grafu v zadaném bodě. Takhle nějak by tedy mohla vypadat naše funkce f. Když se po nás chce, abychom určili první derivaci f v bodě 2, tak se nás vlastně ptají, jaká je směrnice tečny v bodě x rovno 2. Když je x rovno 2, tak směrnice příslušné tečny je přesně směrnice naší přímky. V zadání nám dali dva body, které na této tečně leží, teď už jen musíme spočítat její směrnici, protože to bude rychlost změny funkční hodnoty v tomto bodě, neboli derivace. Derivace je totiž směrnice tečny a tohle je tečna. Pojďme na to. Víme, že směrnice je rovna změně y dělené změnou x. Když jdeme z bodu [2;3] do bodu [7;6], tak jdeme z bodu x rovno 2 do bodu x rovno 7, takže změna x bude 5, a jdeme z bodu y rovno 3 do bodu y rovno 6, takže změna y je rovna 3. Změna y dělená změnou x se tak rovná 3 lomeno 5 a to je směrnice této přímky, což je derivace naší funkce v bodě 2, neboť toto je tečna ke grafu v bodě x rovno 2. Udělejme si ještě jeden příklad. O funkci g víme, že g v bodě -1 se rovná 3 a že první derivace g v bodě -1 je -2. Jaká je rovnice tečny ke grafu funkce g v bodě x rovno -1? Myslím, že bude užitečné, když si to zase nakreslíme. Nejprve si nakreslíme osu y a osu x. Zadání říká, že funkční hodnota g v bodě -1 je 3, takže bod [-1;3] leží na grafu naší funkce. Tady je -1 a na ose y si vyznačíme 1, 2, 3. Tady tak bude bod [-1;3], který leží na grafu naší funkce. Dále víme, že první derivace g v bodě -1 je rovna -2. To nám říká, že směrnice tečny ke grafu naší funkce v tomto bodě bude -2. Říká nám to totiž, že směrnice tečny v bodě x rovno -1 je rovna -2. Tuto informaci teď využijeme k tomu, abychom tečnu nakreslili. Pokusím se to tu nakreslit, bude to vypadat nějak takto. Tečna má mít směrnici rovnou -2, takže bude vypadat nějak takto. Vidíme, že když se ve směru osy x posuneme o 1 doprava, tak se ve směru osy y posuneme o 2 dolů, což odpovídá směrnici rovné -2. Možná si teď říkáte: „A kde je g?“ Můžeme si nakreslit, jak by funkce g mohla vypadat. Nás ale zajímá jen rovnice této zelené přímky. Lze ji najít několika různými způsoby. Mohli byste si říct: „Přímka je obecně…“ Je několik různých způsobů, jak definovat rovnici přímky. Mohli byste říct, že přímka má rovnici tvaru ‚y‘ rovná se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘, kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová souřadnice průsečíku s osou y. Už víme, čemu se rovná směrnice naší přímky, je to -2, takže můžeme napsat ‚y‘ rovná se -2 krát ‚x‘ plus ‚b‘. ‚b‘ nyní spočítáme díky tomu, že víme, že bod [-1;3] leží na naší přímce. Tohle už jste se učili někdy v kurzu algebry. Dosaďme tedy -1 za x a 3 za y. y se rovná 3, takže 3 je rovno -2 krát x, tedy -2 krát -1, plus ‚b‘. -2 krát -1 je 2, takže když od obou stran odečteme 2, dostaneme, že ‚b‘ se rovná 1. Rovnice naší přímky je tedy y rovná se -2 krát x plus 1. Dá se to udělat i jinými způsoby. Mohli byste najít rovnici v rozšířeném směrnicovém tvaru, nebo to udělat takhle, nebo najít obecnou rovnici přímky. Alespoň já to ale nejradši dělám takhle.