Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Průměrná a okamžitá rychlost změny hodnoty funkceDerivace jako sklon křivky
Vyřešíme si pár příkladů, v nichž budeme na derivaci funkce v bodě nahlížet jako na sklon křivky (nebo směrnici tečny ke křivce) v daném bodě.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu bych na pár příkladech rád
vyzkoušel naši intuici ohledně derivace, ať už na ni nahlížíme jako na rychlost
změny funkční hodnoty, strmost křivky, sklon křivky nebo
směrnici tečny ke křivce. V zadání máme první
derivaci v bodě 5. Tohle značení, tato čárka,
je jen způsob jak říci: „Čemu se rovná derivace? Odhadněme
hodnotu derivace funkce f v bodě 5.“ Když říkáme první
derivace funkce f v bodě 5, tak jde o směrnici
tečny v bodě 5, nebo na to lze nahlížet jako na rychlost
změny hodnoty y vzhledem k x, přičemž přesně takhle definujeme
směrnici vzhledem k x funkce f. Tak se nad tím zamysleme. Vidíme, že zde je
vyznačen bod [5;f(5)]. Chceme-li tedy odhadnout směrnici
tečny, neboli strmost této křivky, můžeme zkusit nakreslit přímku,
která bude v tomto bodě tečnou. Tak já to zkusím. Přímka, která má v tomto bodě být tečnou,
by mohla vypadat nějak takto. Vypadá to, že dobře odpovídá
tomu, jak je v tomto bodě křivka strmá. Zajímavé je na tom to,
že strmost se neustále mění. V tomto bodě je strmost malá,
ale pak je čím dál větší, když jdeme směrem doprava, tedy
když máme větší a větší hodnoty x. Pokud se nyní podíváme na bod
ze zadání, bod x rovná se 5, tak odhadem první derivace funkce f
v bodě 5 by byla směrnice této přímky. Vypadá to, že kdykoliv se na přímce
posuneme o 1 ve směru osy x, tak se posuneme o 2
ve směru osy y. Změna y se tedy rovná 2
a změna x je rovna 1. Takže změna y vzhledem
k x pro naši tečnu, která představuje změnu
y vzhledem k x v tomto bodě, se rovná 2 děleno 1, a to je 2. Je to sice jen náš odhad, ale všechny
ostatní možnosti jsou podstatně jiné. Derivace rovná -2 by znamenala,
že když x roste, y klesá. Kdyby naše křivka vypadala
nějak takto, měla by sklon rovný -2. Kdyby měla křivka sklon 0,1,
tak by byla velmi rovná. Někde tady dole by naše
křivka mohla mít sklon blízko 0,1. Sklon -0,1 by mohl
být na této straně, křivka sice směřuje dolů,
ale je téměř rovná. Sklon rovný 0 je úplně dole, protože právě
v tuto chvíli y neroste ani neklesá. Směrnice tečny v tomto
dolním bodě je rovna 0. Naše odpověď
tedy vypadá dobře. Udělejme si ještě
jeden příklad. Máme porovnat derivaci funkce g v bodě 4 a
v bodě 6 a říci, která z nich je větší. Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít sami. Když si uděláme přímku,
která ukazuje sklon této křivky, můžeme se na ni
dívat jako na tečnu… … Přímka, kterou jsem právě
nakreslil, docela dobře ukazuje, jaká je rychlost změny hodnoty y vzhledem
k x, neboli jaký je sklon této křivky. Také lze na tuto přímku nahlížet jako na
tečnu a ptát se, jaká je její směrnice. Když se nyní přesuneme
sem dolů, tak to vypadá, že křivka je strmější,
a to v záporném směru. Křivka je zde určitě strmější,
ale v záporném směru. Když zde x zvětšíme o 1,
y se zhruba o 1 zmenší. Vypadá to tedy, že derivace g v bodě 4,
tedy derivace pro x rovno 4, je přibližně rovna -1, zatímco když zde zvětšíme x o 1,
tak se y zmenší skoro o 3. Derivace g v bodě 6 se
tudíž zdá být blízko -3. Která z derivací
je tedy větší? Tato derivace je méně záporná,
takže je větší než ta druhá. Tohle se dá
zvládnout i intuitivně. Když se podíváte na tuto křivku,
která vypadá jako nějaká sinusoida, tak zde je křivka rovná, protože v tomto
bodě není žádná změna y vzhledem k x, potom křivka stále
rychleji klesá, následně sice pořád klesá,
ale už stále pomaleji, v tomto bodě je
směrnice tečny rovna 0, načež křivka začíná
stoupat a tak pořád dokola. Na tuto úlohu lze tedy
nahlížet i intuitivněji.