Myšlenka derivací

Nejspíš už znáte směrnici přímky. a pokud ne, doporučuji vám se na to podívat na Khan Academy. Ale směrnice vlastně jen říká, jak se změní hodnota svislé neznámé, když dojde ke změně vodorovné neznámé. Například v tomto případě mám standardně y na svislé ose a x na vodorovné ose. Kdybych chtěl nyní určit směrnici této přímky, mohl bych vybrat nějaké dva body, například tento bod a tenhle bod, a bude mě zajímat, jaká je změna x, když jdu z tohoto bodu do druhého. Změna hodnoty x bude tato vzdálenost. Změna x. Tenhle trojúhelník je řecké písmeno delta a jde jen o zkratku pro slovo změna, takže tu máme změnu x. Také můžeme spočítat změnu y. Když jdeme z tohoto bodu nahoru do druhého bodu, naše změna y se bude rovnat tomuto. Směrnici bychom pak definovali, respektive tak už jsme si ji definovali předtím, jako změna y děleno změna x. Směrnice je změna hodnoty svislé proměnné děleno změnou hodnoty vodorovné proměnné, čemuž se někdy také říká svislá změna děleno vodorovná změna. Každá přímka má jednu určitou směrnici, protože přímka má konstantní změnu funkční hodnoty. Když vezmete libovolné dva body na této přímce, ať už jsou jakkoliv vzdálené nebo blízko sebe, zkrátka kdekoliv na přímce, tak vám po výpočtu změn vyjde vždy stejná směrnice. To je právě vlastnost přímek. Na matematické analýze je ale fascinující to, že si vytvoříme nástroje, pomocí nichž budeme moci zkoumat nejen změnu funkční hodnoty přímky, čemuž jsme doteď říkali směrnice, ale budeme moci uvažovat i nad okamžitou změnou funkční hodnoty nějaké křivky. Něčeho, u čeho se změna funkční hodnoty neustále mění. Například zde je křivka, pro kterou se změna y při změně x neustále mění. To dokonce i když použijeme náš tradiční postup. Řekneme si, že můžeme spočítat průměrnou změnu funkční hodnoty, a to mezi třeba tímto bodem a tímto bodem. Čemu se to bude rovnat? Průměrná změna funkční hodnoty mezi tímto bodem a tímto bodem je směrnice přímky, která body spojuje. Tedy směrnice této přímky, této sečny. Ale kdybychom vybrali jiné dva body, třeba tento a tento, průměrná změna funkční hodnoty mezi těmito body vypadá o dost jinak. Vypadá to, že směrnice bude větší. Takže když vezmeme dva body a uvážíme směrnici přímky, směrnici této sečny, tak vidíme, že směrnice se mění. Co kdybychom si ale položili ještě zajímavější otázku? Jaká je okamžitá změna funkční hodnoty v bodě? Například jak rychle se y mění vzhledem ke změně x přesně v tomto bodě? Právě když je x rovno této hodnotě, kterou si označme jako x_1. Můžete se na to dívat třeba takto: Co kdybychom nakreslili tečnu grafu procházející tímto bodem? Přímku, která se dotýká grafu přesně tady. Směrnici takové přímky umíme spočítat, a to by také měla být změna funkční hodnoty v tomto bodě. Okamžitá změna funkční hodnoty. Tečna by mohla vypadat nějak takto. Když budeme znát směrnici této přímky, tak můžeme říci, že to je okamžitá změna funkční hodnoty v tomto bodě. Proč říkám okamžitá změna funkční hodnoty? Vzpomeňte si na video o běžcích, například s Usainem Boltem, Kdybychom chtěli určit rychlost Usaina Bolta v danou chvíli, tak by toto mohlo popisovat jeho polohu v průběhu času. y by odpovídalo jeho poloze a x času. Čas se obvykle značí písmenem ‚t‘, ale teď ho označme jako x. Přesně v tomto čase tak mluvíme o okamžité změně. Tato myšlenka tvoří základ diferenciálního počtu a říká se jí derivace. Směrnice tečny, na což lze také nahlížet jako na okamžitou změnu funkční hodnoty. Napíšu zde vykřičník, protože je to velice důležitá myšlenka. Jak derivaci zapisujeme? Jednou z možností je Leibnizovo značení. Leibniz je jedním z otců matematické analýzy spolu s Isaacem Newtonem. V jeho značení se směrnice tečny rovná dy lomeno dx. Proč mám toto značení rád? Protože vychází z myšlenky směrnice, kde je změna y dělená změnou x. V dalších videích uvidíte, že na směrnici tečny lze také nahlížet tak, že… Spočítejme si směrnici sečny procházející tímto a tímto bodem. Pak vezmeme bližší body, třeba tyto dva. Pak ještě bližší body, tyto dva, Poté vezměme ještě bližší body a podívejme se, co se děje, když se změna x blíží k 0. Takže když místo delt používáme tato písmena d, tak tím Leibniz říkal: „Co se stane, když bude změna x blízko k 0?“ Toto je Leibnizův zápis a značí myšlenku, že místo změny y dělené změnou x uvažujeme velmi malé změny y při velmi malé změně x, zejména pro změnu x blížící se k 0. Jak dále uvidíte, takto také budeme derivaci počítat. Existují však i další způsoby zápisu. Pokud lze tuto křivku popsat jako y rovná se f(x), tak směrnici tečny v tomto bodě můžeme zapsat jako f s čarou v bodě x_1. Na toto značení si chvíli musíte zvykat. Jedná se o Lagrangeovo značení. f s čarou představuje derivaci, jde o směrnici tečny v daném bodě. Když dosadíte x do této funkce, do funkce f, dostanete příslušnou hodnotu y. Když dosadíte x do funkce f s čarou, dostanete směrnici přímky v tomto bodě. Je ještě jedno značení, které nejspíš moc neuvidíte na hodinách matematické analýzy, ale můžete ho potkat na hodinách fyziky, a to ‚y‘ s tečkou nahoře. Tedy y s tečkou nahoře také značí derivaci. Na hodinách matematiky můžete také častěji vidět y s čarou. Jak budeme pokračovat v našem putování matematickou analýzou, postupně si vytvoříme metody, kterými tyto věci budeme počítat. Pokud už znáte limity, tak budou velmi užitečné, protože budeme počítat limitu ze změny y dělené změnou x, když se změna x blíží k 0. A nebudeme to počítat jen pro jeden bod, budeme schopni sestavit rovnosti, které udávají derivaci v libovolném bodě. Takže se máte opravdu na co těšit.