Tvar limity pro nalezení derivace funkce (graficky)

S pomocí grafu funkce f spočítej následující limity. První je limita pro x blížící se ke 3 z podílu f(x) minus f(3) a x minus 3. X rovno 3 je na grafu zde. Tady je f(3), takže vidíme, že f(3) je rovno 1. Toto je tedy bod [3;f(3)]. Chceme vlastně najít směrnici mezi libovolným bodem [x;f(x)] a tímto bodem, a to pro x blížící se čím dál tím více ke 3. Můžeme si představit x větší než 3, například zde. Když budeme chtít najít směrnici mezi body [x;f(x)] a [3;f(3)], tak dostaneme přesně tento výraz. Koncovým bodem je f(x), takže f(x) minus f(3) je změna hodnoty na svislé ose. Jde o tuto vzdálenost. Tohle vydělíme změnou hodnoty na vodorovné ose, tedy změnou x, tedy děleno x minus 3. Tím jsme pro naše zvolené x opravdu dostali přesně tento výraz. Když se podíváme na přímku mezi těmito dvěma body, tak to vypadá, že směrnice je -2. Stejnou směrnici dostaneme, když půjdeme z druhé strany. Pro x menší než 3 bychom také dostali směrnici rovnou −2. V obou případech je směrnice rovna −2. To je důležité, jelikož hledáme limitu pro x blížící se ke 3. x se tak ke 3 může blížit jak zprava, tak zleva. Jak se čím dál víc blížíme, tak v obou případech dostaneme, že směrnice je −2. Teď se podívejme, na co se nás ptají. Máme tu f(8). Bod [8;f(8)] je tady. Dále máme f(8 plus h). Mohlo by nás svádět si říct, že 8 plus h bude někde zde. že to bude něco většího než 8, ale všimněme si, že v zadání je limita pro h blížící se k 0 zleva. Blížíme se k 0 zleva, tedy „zezdola“, takže například -1, -0,5, -0,1, -0,0001. h tedy bude záporné číslo. 8 plus h proto bude někde tady. a hodnota f(8 plus h) tak bude zde. Tento výraz je opět směrnice mezi těmito dvěma body a my hledáme limitu pro h jdoucí k 0 zleva. Jak se h bude blížit k 0, toto se bude posouvat doprava a tyto body budou víc a víc u sebe. Tento výraz je tedy směrnicí přímky... Vidíme, že je konstantní, takže jakou směrnici má přímka na tomto intervalu? Vidíme, že kdykoliv se x změní o 1, f(x) se také změní o 1. Směrnice této přímky je tedy rovna 1. Bylo by to úplně jiné, kdyby šlo h k 0 zprava. V takovém případě by nás zajímaly tyhle body a zjistili bychom, že se blížíme k směrnici svislé přímky, tedy směrnice by byla nekonečno.