Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 3: Definice derivace- Definice derivace jako limita funkce
- Formální a alternativní tvar derivace
- Příklad: derivace jako limita funkce
- Příklad: zjištění derivace z limity funkce
- Derivace jako limita
- Derivace x² v bodě x=3 pomocí formální definice
- Derivace x² v libovolném bodě za pomoci formální definice
- Najdi rovnici tečny za pomoci formální definice derivace
- Tvar limity pro nalezení derivace funkce (graficky)
Tvar limity pro nalezení derivace funkce (graficky)
Najdeme tvar limity popisující derivace funkce zadané graficky a vypočítáme ji. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
S pomocí grafu funkce f
spočítej následující limity. První je limita pro x blížící se ke 3
z podílu f(x) minus f(3) a x minus 3. X rovno 3 je
na grafu zde. Tady je f(3), takže vidíme,
že f(3) je rovno 1. Toto je tedy
bod [3;f(3)]. Chceme vlastně najít směrnici mezi
libovolným bodem [x;f(x)] a tímto bodem, a to pro x blížící se
čím dál tím více ke 3. Můžeme si představit
x větší než 3, například zde. Když budeme chtít najít směrnici
mezi body [x;f(x)] a [3;f(3)], tak dostaneme
přesně tento výraz. Koncovým
bodem je f(x), takže f(x) minus f(3) je
změna hodnoty na svislé ose. Jde o tuto vzdálenost. Tohle vydělíme změnou hodnoty
na vodorovné ose, tedy změnou x, tedy děleno
x minus 3. Tím jsme pro naše zvolené x
opravdu dostali přesně tento výraz. Když se podíváme na přímku mezi
těmito dvěma body, tak to vypadá, že směrnice je -2. Stejnou směrnici dostaneme,
když půjdeme z druhé strany. Pro x menší než 3 bychom
také dostali směrnici rovnou −2. V obou případech
je směrnice rovna −2. To je důležité, jelikož hledáme
limitu pro x blížící se ke 3. x se tak ke 3 může blížit
jak zprava, tak zleva. Jak se čím dál víc blížíme, tak v obou
případech dostaneme, že směrnice je −2. Teď se podívejme,
na co se nás ptají. Máme tu f(8). Bod [8;f(8)]
je tady. Dále máme
f(8 plus h). Mohlo by nás svádět si říct,
že 8 plus h bude někde zde. že to bude něco
většího než 8, ale všimněme si, že v zadání je
limita pro h blížící se k 0 zleva. Blížíme se k 0 zleva,
tedy „zezdola“, takže například
-1, -0,5, -0,1, -0,0001. h tedy bude
záporné číslo. 8 plus h proto
bude někde tady. a hodnota f(8 plus h)
tak bude zde. Tento výraz je opět směrnice
mezi těmito dvěma body a my hledáme limitu
pro h jdoucí k 0 zleva. Jak se h bude blížit k 0,
toto se bude posouvat doprava a tyto body budou
víc a víc u sebe. Tento výraz je tedy
směrnicí přímky... Vidíme, že je
konstantní, takže jakou směrnici má
přímka na tomto intervalu? Vidíme, že kdykoliv se
x změní o 1, f(x) se také změní o 1. Směrnice této přímky
je tedy rovna 1. Bylo by to úplně jiné,
kdyby šlo h k 0 zprava. V takovém případě by
nás zajímaly tyhle body a zjistili bychom, že se blížíme
k směrnici svislé přímky, tedy směrnice by
byla nekonečno.